高中数学5.4复数的几何表示同步精练湘教版选修2-21．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()．A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i2．满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()．A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆3．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()．A．＋iB．－1或4C．－4＋3iD．＋i4．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于()．A．iB．－iC．±1D．±i5．已知复数z＝1－2i，那么等于()．A．＋iB．－iC．＋iD．－i6．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点在一条直线上，则实数a＝________.7．若z是实系数方程x2＋2x＋p＝0的一个虚根，且|z|＝2，则p＝__________.8．已知z1＝2(1－i)，|z|＝1，则|z－z1|的最大值是________．9．在复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|BD|.10．已知复数z1＝2＋i,2z2＝.(1)求z2；(2)若△ABC三内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cosA＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．1参考答案1．C6＋5i对应点A(6,5)，－2＋3i对应点B(－2,3)，则C，即C(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i.2．C∵|3＋4i|＝5，∴|z|＝5表示以原点为圆心，以5为半径的圆．3．C设x＝a＋bi，则＝1＋3i－a－bi.∴⇒即x＝－4＋3i.4．D设z＝a＋bi，则＝a－bi(a，b∈R)，∵z＋＝4，z·＝8，∴a＝2，a2＋b2＝8.∴b＝±2.当b＝2时，＝－i，当b＝－2时，＝i.5．D＝1＋2i，∴＝＝－i.6．5复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为A(3，－5)，B(1，－1)，C(－2，a)．点C应在直线AB上．直线AB的方程为2x＋y－1＝0，将C(－2，a)代入方程，得a＝5.7．4(方法一)设z＝a＋bi(b≠0)，由题意知(a＋bi)2＋2(a＋bi)＋p＝0，整理得(a2－b2＋2a＋p)＋(2ab＋2b)i＝0.∴解得a＝－1，p＝1＋b2.又∵|z|＝2，即a2＋b2＝4，∴b2＝3，p＝4.(方法二)∵z是实系数方程x2＋2x＋p＝0的一个虚根，由实系数方程的虚根成对出现知，方程的另一个虚根为.设z＝a＋bi，则＝a－bi，由根与系数的关系得z＋＝2a＝－2，∴a＝－1.又∵|z|＝2，∴＝2.∴b2＝3.∴p＝z·＝a2＋b2＝1＋3＝4.8．2＋1(方法一)∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝＝.当sin＝1时，|z－z1|2取得最大值9＋4.从而得到|z－z1|的最大值为2＋1.(方法二)|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1可看成坐标系中的点Z1(2，－2)，2∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离．由图可知|z－z1|max＝2＋1.9．解：∵＝－，∴向量对应的复数为－1＋i.∵＝－，∴向量对应的复数为(4＋2i)－1＝3＋2i.又＝＋，∴向量对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴||＝|2＋3i|＝.10．解：(1)z2＝＝＝＝－i.(2)在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列，∴2B＝A＋C.∴B＝60°，A＋C＝120°，u＋z2＝cosA＋2icos2－i＝cosA＋i＝cosA＋icosC.∴|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋cos(A＋C)cos(A－C)＝1＋cos120°cos(A－C)＝1－cos(A－C)．由A＋C＝120°⇒A－C＝120°－2C.∴－120°＜A－C＜120°.∴－＜cos(A－C)≤1.∴≤1－cos(A－C)＜.故≤|u＋z2|＜.S3
