课时分层作业(十六)基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知f(x)＝，则f′(x)＝()A．B．－1C．1－lnxD．D[f′(x)＝＝＝，所以选D.]2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2A[∵y′＝＝，∴k＝y′|x＝－1＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A.]3．设函数f(x)＝(sinx－cosx)的导函数为f′(x)，则下列结论正确的是()A．f′(x)＋f(x)＝－sinxB．f′(x)＋f(x)＝－cosxC．f′(x)－f(x)＝sinxD．f′(x)－f(x)＝cosxD[易得f′(x)＝(cosx＋sinx)，所以f′(x)＋f(x)＝sinx，f′(x)－f(x)＝cosx，故选D.]4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为()A．1B.C.D.C[设与直线y＝x＋2平行的直线与曲线y＝－x2相切于点P(x0，y0)，由y′＝－2x得y′|x＝x0＝－2x0，由题意知－2x0＝1，解得x0＝－，从而y0＝－.即P，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为d＝＝，故选C.]5．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为()【导学号：97792143】A．3B．－3C．5D．－5A[由题意知3＝k＋1，即k＝2，又y′＝3x2＋a，则y′|x＝1＝3＋a，由3＋a＝2得a＝－1，则y＝x3－x＋b.由点(1,3)在曲线上得3＝13－1＋b，得b＝3.]二、填空题6．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．3[f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex.则f′(0)＝3e0＝3.]7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________.2[设ex＝t，则x＝lnt，故f(t)＝lnt＋t，从而f(x)＝lnx＋x，由f′(x)＝＋1得f′(1)＝2.]18．已知f(x)＝ex－x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为__________．y＝(e－1)x[设切点坐标为(x0，ex0－x0)．由题意，可得切线斜率k＝f′(x0)＝ex0－1，所以切线方程为y＝(ex0－1)x－x0ex0＋ex0.又切线过原点，所以－x0ex0＋ex0＝0，则x0＝1，所以切线方程为y＝(e－1)x.]三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝.[解](1)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝＝＝.10．已知曲线y＝f(x)＝－1(a>0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值.【导学号：97792144】[解]因为f(1)＝－1，所以切点为.由已知，得f′(x)＝，切线斜率k＝f′(1)＝，所以切线l的方程为y－＝(x－1)，即2x－ay－a－1＝0.令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝－.所以l与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝××＝＋≥×2＋＝1，当且仅当a＝，即a＝1时取等号，所以Smin＝1.故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.[能力提升练]1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.B．－C．－eD．eD[y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选D.]2．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．1[∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1.]3．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为__________．1[∵f′(x)＝－asinx，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.]4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.【导学号：97792145】[解](1)f′(x)＝a＋.2又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，∴⇒⇒，∴f(x)的解析式为f(x)＝x－.(2)证明：设点为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线的斜率k＝1＋，切线方程为y－＝(x－x0)，令x＝0，得y＝－.由，得.∴曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6，为定值．3
