3.3.3函数的最大（小）值与导数1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.2.函数y=的最大值为()A.e-1B.eC.e2D.【解析】选A.令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当00,所以y=的极大值为,因为y=在其定义域内只有一个极值,所以ymax=.3.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M,最小值为m,则M-m=.【解析】f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=2或x=-2.又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,所以M-m=32.答案:324.函数f(x)=的最大值为.【解析】方法一:f′(x)==0⇒x=1.进一步分析,最大值为f(1)=.方法二:f(x)==≤,当且仅当=时,即x=1时,等号成立,1故f(x)max=.答案:5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在[-2,2]上的最大值.【解析】f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(-2,0)0(0,2)2f′(x)+0-0f(x)-40+a↗极大值a↘-8+a所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.所以当x=0时,f(x)取到最大值3.2
