课时作业34等比数列一、选择题1．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q为()A．－B．1C．－或1D.解析：当q＝1时，满足S3＝3a1＝3a3.当q≠1时，S3＝＝a1(1＋q＋q2)＝3a1q2，解得q＝－，综上q＝－或q＝1.答案：C2．在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a6的值是()A．±B．－C.D．±2解析：由题意得a4a8＝2，且a4＋a8＝3，则a4>0，a8>0，又{an}为等比数列，故a4，a6，a8同号，且a＝a4a8＝2，故a6＝，选C.答案：C3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：q＝＝，则＝＝2n－1.答案：C4．等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：解法1：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)．解法2：取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.答案：A5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为()A．－2B．2C．－3D．3解析：设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1. ＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.答案：B6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法一定正确的是()A．若a3>0，则a2013<0B．若a4>0，则a2014<0C．若a3>0，则S2013>0D．若a4>0，则S2014>0解析：当公比q＝1时，选项C、D正确．当q≠1时，若a3>0，则a2013＝a3q2010>0；又S2013＝＝，因为1－q2013与1－q同号，所以S2013>0.若a4>0，则a2014＝a4q2010>0；又S2014＝＝，当q＝－时，易知1－q2014>0，1－q＝>0，q3<0，所以S2014<0.综上可知，选项C正确．故选C.答案：C二、填空题7．(2015·湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．解析：若等比数列{an}的公比为q显然q≠1，则由3S1，2S2，S3成等差数列得到3S1＋S3＝2×2S2⇒3＋1＋q＋q2＝4(1＋q)⇒q2－3q＝0⇒q＝3，所以an＝3n－1.答案：3n－18．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析： a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.答案：2409．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________．解析： b1＝＝a2，b2＝，∴a3＝b2a2＝b1b2， b3＝，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.答案：102410．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2014积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．解析：由题可知a1a2a3·…·a2014＝a2014，故a1a2a3·…·a2013＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1>1，所以a1007＝1，公式0
1且0
