第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11xB．y2＝11xC．y2＝－22xD．y2＝22x解析：令y＝0得x＝－，所以抛物线的焦点为F，即＝，所以p＝11，所以抛物线的方程是y2＝－22x.答案：C2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16C．32D．64解析：由题可知抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.答案：B3．抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12解析：抛物线y2＝8x的准线是x＝－2，由条件知P到y轴距离为4，所以点P的横坐标xP＝4.根据焦半径公式可得|PF|＝4＋2＝6.答案：B4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为()A．4B．－4C．p2D．－p2解析：法一(特例法)：当直线垂直于x轴时，A，B，则＝＝－4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立，可得y1y2＝－p2，则＝＝＝＝－4.答案：B5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于()A．90°B．45°C．60°D．120°解析：如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，1所以∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO，于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.答案：A二、填空题6．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝4，则焦点到弦AB的距离为________．解析：由题意我们不妨设A(x，2)，则(2)2＝4x，所以x＝3，所以直线AB的方程为x＝3，又抛物线的焦点为(1，0)，所以焦点到弦AB的距离为2.答案：27．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F为抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.又⇒x2－5x＋4＝0，所以x1＋x2＝5，|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝7.答案：78．在抛物线y2＝16x内，过点(2，1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________．解析：显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)，①由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，所以y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，所以k＝8.代入①得y＝8x－15.答案：y＝8x－15三、解答题9．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．解：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p
0)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|＝5.(1)求抛物线C的方程；(2)MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．解：(1)因为|MF|＝3＋＝5，所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.(2)由题意知MF不垂直于x轴，故设MF所在直线方程为y＝k(x－2)，联立消去y得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得xM·xN＝＝4，因为xM＝3，所以xN＝.因为N为MF的延长线与抛物线的交点，由图象可知yN<0.所以yN＝－＝－，所以N坐标为.[B级能力提升]1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4(负值舍去)，所以选B.答案：B2．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于________．解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称．设A，B，a＞0，S△AOB＝×2a×＝...
