第三章导数及其应用测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(改编题)已知函数f(x)=ax-√x,且f'(4)=12,则a的值等于()A.14B.52C.1D.34解析:由已知得f'(x)=a-12√x,因此有f'(4)=a-12√4=12,解得a=34.答案:D2.(2016辽宁沈阳高二检测)曲线y=xx-2在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析:由于y'=-2(x-2)2,所以切线斜率k=-2(1-2)2=-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A3.若函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x2-2xB.f(x)=x2+2xC.f(x)=13x3+x2D.f(x)=x3-x2解析:由题可知f'(x)为二次函数,故排除A,B,且f'(x)的两根分别为-2,0,又f(x)=13x3+x2的导数为f'(x)=x2+2x的两根为-2,0.答案:C4.函数f(x)=2lnx-x-3x的单调递增区间是()A.(-1,3)B.(0,3)C.(3,+∞)D.(3,+∞)和(-∞,-1)解析:f'(x)=2x-1+3x2=-x2+2x+3x2,令f'(x)>0,解得-10,g(x)=6x2-2x+1中Δ=-20<0,所以g(x)>0恒成立,故f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.答案:A6.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)()A.在(-∞,0)上为减函数B.在x=0处取极小值C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取极大值解析:在(-∞,0)上,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,0)上为增函数,A错;在x=0处,导数由正变负,f(x)由增变减,故在x=0处取极大值,B错;在(4,+∞)上,f'(x)<0,f(x)为减函数,C对;在x=2处取极小值,D错.答案:C7.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是()A.(-∞,7]B.(-∞,-20]C.(-∞,0]D.[-12,7]解析:令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f'(x)=3x2-6x-9.令f'(x)=0,得x=-1或x=3(舍去).因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.所以f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20.答案:B8.(原创题)已知函数f(x)=√32x-14x2,若该函数图象在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图象在点(-√3,-94)的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于()A.3√3B.-3√3C.0D.√3解析:f'(x)=√32−12x,所以图象在点(-√3,-94)的切线的斜率k=√3,因此倾斜角为60°,从而图象在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-√3,于是√32−12x0=-√3,解得x0=3√3.答案:A9.若函数f(x)=12x2+2ax-lnx在区间[13,2]上是单调递增函数,则实数a的取值范围是()A.a≤43B.a≥43C.a≥-34D.a≤-342解析:依题意f'(x)=x+2a-1x≥0在[13,2]上恒成立,即2a≥-x+1x在[13,2]上恒成立.因为(-x+1x)max=83,所以2a≥83,即a≥43.答案:B10.(2016陕西咸阳高二检测)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,其导数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+∞)上()A.有极大值B.有极小值C.单调递增D.单调递减解析:由f'(x)-f(x)=-exx2可得f'(x)-f(x)ex=-1x2,即[f(x)ex]'=-1x2,于是f(x)ex=1x+c,其中c为常数.又因为f(1)=e,所以ee=1+c,故c=0,从而f(x)=exx.于是f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)=0得x=1,且01时,f'(x)>0,故函数f(x)在定义域(0,+∞)上有极小值.答案:B11.若函数f(x)=x3-3x-1对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.20B.18C.3D.0解析:f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数f(x)的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19.由题设,知在区间[-3,2]上,f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.故选A.答案:A12.导学号59254056(2016四川成都高二检测)设函数f(x)=aex和g(x)=x2+c的图象的一个公共点为P(2,t),且在该点处有相同的切线,则方程f(x)-g(x)=0在下列哪个区间内一定存在负根()A.(-1,0)B.(-2,-1)C.(-3,-2)D.(-4,-3)解析:由函数f(x),g'(x)的图象在点P处有相同的切线,可得f'(2)=g'(2).由f'(x)=aex,g'(x)=2x,得a=4e2.因为P(2,t)在f(x)的图象上,所以t=4,则c=0.令h(x)=f(x)-g(x),3则h(x)=4ex-2-x2,所以h(-1)=4e3-1<0,h(0)=4e2>0,因此h(x)=0在(-1,0)内一定存在负根,故选...
