高中数学 第三章 空间向量与立体几何 课时作业21 3.1.3 空间向量的数量积运算（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

课时作业21空间向量的数量积运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，则AC·AD1等于(B)A．0B．1C.D．－1解析：AC·AD1＝(AB＋AD)·(AD＋AA1)＝AB·AD＋AB·AA1＋AD2＋AD·AA1＝0＋0＋1＋0＝1.2．正方体ABCDA′B′C′D′中，A′B，B′D′＝(D)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：设正方体棱长为1，则A′B＝，B′D′＝，∵A′B·B′D′＝(A′A＋AB)·(B′C′＋C′D′)＝(A′A＋AB)·(AD－AB)＝－1，∴cos〈A′B，B′D′〉＝＝＝－＝cos120°.3．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(B)A．－6B．6C．3D．－3解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(C)A．6B．6C．12D．144解析：因为PC＝PA＋AB＋BC，所以2＝2＋2＋2＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.所以|PC|＝12.5．如图所示，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则AE·BC等于(A)1A．0B．1C．2D．3解析：∵AE·BC＝(AB＋AC)·(DC－DB)＝(DB－DA＋DC－DA)·(DC－DB)＝(DB－2DA＋DC)·(DC－DB)＝DB·DC－2－DA·DC＋DA·DB＋2－DC·DB，又易知DB·DC＝0，DA·DC＝0，DA·DB＝0，|DB|＝|DC|，∴AE·BC＝0.故选A.6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cosOA，BC的值为(D)A.B.C．－D．0解析：OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cosOA，OC－|OA|·|OB|·cosOA，OB，∵OA，OC＝OA，OB＝，|OB|＝|OC|，∴OA·BC＝0，∴OA⊥BC，∴cosOA，BC＝0.7．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围为(C)A．[0,1]B．[1,2]C．[0,3]D．[1,3]解析：∵|p|2＝(＋＋)2＝3＋2(＋＋)≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.8．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设〈AB，CD〉＝θ，AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝|CD|2＝1，∴cosθ＝＝，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.二、填空题9．已知正方ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则A1B·B1C＝a2.解析：A1B·B1C＝A1B·A1D＝|A1B|·|A1D|·cos〈A1B，A1D〉＝a×a×cos60°＝a2.10．若AB·BE＝AB·BC，则AB⊥CE.解析：AB·BE＝AB·BC，则AB·(BE－BC)＝AB·CE＝0.∴AB⊥CE.11．如图所示，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为7.2解析：∵PC＝PA＋AD＋DC，∴|PC|2＝PC·PC＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2PA·DC＋2AD·DC＝62＋42＋32＋2|AD|·|DC|cos120°＝61－12＝49，∴PC＝7.三、解答题12.已知空间四边形ABCD，求AB·CD＋BC·AD＋CA·BD的值．解：AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝AB·(AD－AC)＋(AC－AB)·AD－AC·(AD－AB)＝AB·AD－AB·AC＋AC·AD－AB·AD－AC·AD＋AC·AB＝0.13．直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0，(1)证明：易知CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a.∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0.∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.(2)易知AC′＝－a＋c，∴|AC′|＝|a|，又CE＝b＋c，∴|CE|＝|a|，∵AC′·CE＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cosAC′，CE＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.——能力提升类——14．如图所示，在一个直二面角αABβ的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为2.解析：∵CD＝CA＋AB＋BD＝AB－AC＋BD，∴2＝(AB－AC＋BD)2＝2＋2－2AB·AC＋2＋2AB·BD－2AC·BD＝16＋36＋64＝116，∴|CD|＝2.15．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.3(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．解：(1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N＝BA1＋AB＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，∴|a＋b＋c|＝，∴|MN|＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.4