初中数学用轴对称变换解题学法指导学法指导 试题VIP专享VIP免费

初中数学用轴对称变换解题对称变换包括轴对称、中心对称和旋转对称．本文举例介绍当题设中有等腰三角形、角平分线、垂线或求折线时，常用轴对称变换，使条件集中，从而使解法简易，达到快捷解题的目的．例1、已知：如图1，AD=AC，DF∥BC，∠FDC=∠CDE．求证：分析：本题若通过平行线分线段成比例或三角形相似来解决，较困难．注意到AD=AC，DE=EC．可联想到直线AE是线段BC的中垂线，则△ADE与△ACE关于直线AE对称．可用三角形内角平分线性质来证．证明：连结AE。因为DF∥BC，所以∠1=∠2．因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以CE=DE，可证△ADE≌△ACE，所以∠4=∠5，所以。因为DF∥BC，所以，所以。例2、已知：如图2，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，点O在△ABC内，且∠OAB=10°，∠OBA=30°．求：∠OCA的度数．析解1：因为∠ACB=80°，AC=BC，所以∠CAB=50°。因为∠OAB=10°，所以∠CAO=40°．考虑到角是轴对称图形，且对称轴是角的平分线所在的直线，故作∠CAO的平分线交BO的延长线于D，连结CD，则∠1=∠2=20°，∠DAB=∠OBA=30°，所以∠ADB=120°，DA=DB，∠CBD=∠CAD=20°。证出△CAD≌△CBD，所以∠3=∠4=120°=∠ADO。又可证△ACD≌△AOD，所以AC=AO，所以∠OCA=。析解2：以AC为边，向点B同侧作等边三角形CAD，连结DB．由∠CAB=50°，∠DAB=∠OAB=10°，得∠DCB=20°。由CD=CB，可得∠CBD=80°．而∠ABD=30°=∠OBA，可证出△OAB≌△DAB，得AO=AD=AC，由此得∠OCA=70°．例3、已知：如图4，AD为△ABC中∠A的平分线，P为AD上的任一点，且AB>AC．求证：AB－AC>PB－PC．证明：在AB上取点C′，使AC′=AC，连结PC′．因为∠1=∠2，AC=AC′，AP=AP，所以△APC≌△APC′，所以PC=PC′．在△BC′P中，BC′>BP－PC′，即AB－AC>PB－PC．例4、已知：如图5，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M为BC的中点，DE⊥AM于E．求证：DE=。证明：以BC为轴，作矩形ABCD的对称图形．因为M为BC中点，所以D′在直线AM上，DE为Rt△ADD′斜边上的高，则有AD′·DE=AD·DD′，所以DE=。例5、已知：如图6，E为正方形ABCD的边AB上的点，AE=3，BE=1，P为AC上动点，求PB+PE的最小值．析解：问题是在直线AC上求一点P，使PB+PE最小，由B、D关于直线AC对称，故连结DE交AC于点P，则P为所求的点．因为AE=3，BE=1，,AD=4．由勾股定理，得，所以PB+PE的最小值为5．例6、已知：如图7，把一个矩形纸片ABCD折叠一次，使顶点A和C重合，若AB=a，BC=ka，且折叠时纸片不重叠部分的面积为．求实数k的值．析解：矩形ABCD沿折痕EF对折，使A和C重合，此时四边形ECDF与四边形EAGF关于EF对称．∠1+∠3=∠2+∠3=90°，所以∠2=∠1，又因为∠G=∠B，AG=AB，所以△AGF≌△ABE。2S△ABE==AB·BE=a·BE，所以BE=，所以AE=，，所以。