【大高考】(五年高考)2016届高考数学复习第十四章不等式选讲文(全国通用)考点不等式的解法及证明1.(2014·陕西,15A)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.解析由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,将已知代入得m2+n2≥5⇒≥.答案2.(2014·江西,15)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________.解析因为|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,当且仅当x(x-1)≤0,即0≤x≤1时取等号,|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,当且仅当y(y-1)≤0,即0≤y≤1时取等号,所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥1+1=2.又已知|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,0≤x≤1且0≤y≤1,所以0≤x+y≤2.答案[0,2]3.(2013·陕西,15A)设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.解析 |x-a|+|x-b|=|a-x|+|x-b|≥|(a-x)+(x-b)|=|a-b|>2,∴|x-a|+|x-b|>2对x∈R恒成立.故解集为(-∞,+∞).答案(-∞,+∞)4.(2012·陕西,15A)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.解析由绝对值不等式的几何意义可知,数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得-2≤a≤4.]答案[-2,4]5.(2011·陕西,15A)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值范围是________.解析法一 |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴使原不等式成立的a的取值范围是a≤3.法二|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|BC|=3,∴|AB|+|AC|≥3.∴a≤3.法三设f(x)=|x+1|+|x-2|=∴f(x)的图象如图所示,∴f(x)≥3.∴a≤3.答案(-∞,3]6.(2015·新课标全国Ⅱ,24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.解(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.7.(2015·江苏,21(D))解不等式x+|2x+3|≥2.解原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.8.(2015·新课标全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-10,解得0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得,f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).9.(2015·陕西,24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.解(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则解得a=-3,b=1.(2)+=+≤=2=4,当且仅当=,即t=1时等号成立,故(+)max=4.10.(2014·新课标全国Ⅰ,24)若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.(2014·新课标全国Ⅱ,24)设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.(1)证明由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综...