课时分层作业(九)椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为()A．B．∪C．D．B[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－．]2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(－∞，－3)∪(－3,0)D．(1,3)B[由消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0．若直线与椭圆有两个公共点，则解得由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3．综上可知，m>1且m≠3，故选B．]3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()A．±B．±C．±D．±A[设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝，解得y＝±，从而M的纵坐标为±．]4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A．B．C．D．A[联立方程组可得得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝．∴kOP＝＝＝．故选A．]5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1＋PF2|的最小值是()A．0B．1C．2D．2C[设P(x0，y0)，则PF1＝(－1－x0，－y0)，PF2＝(1－x0，－y0)，∴PF1＋PF2＝(－2x0，－2y0)，∴|PF1＋PF2|＝＝2＝2． 点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|PF1＋PF2|取最小值2．故选C．]二、填空题6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1，②①－②得，＋＝0．又M(1,1)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋＝0，所以a2＝2b2，所以e＝．]7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝．]8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为________．6[由＋＝1可得F(－1,0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6．]三、解答题9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m．(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[解](1)联立方程组消去y，整理得：5x2＋2mx＋m2－1＝0． 直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，∴－≤m≤．(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝． －≤m≤，∴0≤m2≤，∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0．10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．[解](1)由题意得解得c＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝＝，又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1．1．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A．[6,10]B．[6,8]C．[8,10]D．[16,20]C[由题意知a＝10，b＝8，不妨设椭圆为＋＝1，椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝，又因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，所以8≤d≤10．故选C．]2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1D[因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝...
