第1讲坐标系与参数方程1．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，过点F(，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.解：(1)直线l的普通方程为2x－y＋2＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)因为所以C′的直角坐标方程为＋y2＝1.易知直线AB的参数方程为(t为参数)．将直线AB的参数方程代入曲线C′：＋y2＝1，得t2＋t－1＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝－，所以|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝.2．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△MPQ的面积．解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.设B(ρ，θ)，则A，则ρ＝6sin(θ－)＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(2)M到直线θ＝的距离为d＝4sin＝2，射线θ＝与曲线C1的交点P，射线θ＝与曲线C2的交点Q，所以|PQ|＝3－3，故△MPQ的面积S＝×|PQ|×d＝3－3.3．(2019·河北省九校第二次联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．解：(1)把代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax(a>0)，由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.(2)将(t为参数)代入y2＝2ax，整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，由题意知，|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，所以8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，所以a＝1.4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2的参数方程为(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)已知射线l1：θ＝α，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ＝α－，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|·|QQ|的最大值．解：(1)曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cosα，点Q的极坐标为，即ρ2＝4sin，则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin＝16cosα·＝8sin－4.因为α∈，所以2α－∈.当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取最大值4.5．(2019·石家庄市质量检测)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，点Q为曲线C2上的动点，求点Q到直线l距离的最大值．解：(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.设曲线C1上任意一点的坐标为(x，y)，变换后对应的点的坐标为(x′，y′)，则即代入曲线C1的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4中，整理得x′2＋＝1，所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋＝1.(2)设Q(cosθ1，2sinθ1)，由直线l的参数方程得直线l的普通方程为3x－2y－8＝0，则Q到直线l的距离d＝＝，当cos(θ1＋α)＝－1时，d取得最大值，为，所以点Q到直线l距离的最大值为.6．(2019·洛阳尖子生第二次联考)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)若...
