高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课后导练 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

2.3.1抛物线及其标准方程课后导练基础达标1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是()A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y解析： 2p=7,∴p=14. 抛物线的焦点在x轴正半轴上.∴抛物线的方程是y2=28x.答案：B2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上，则抛物线的标准方程是()A.x2=72yB.x2=144yC.y2=-48xD.x2=144y或y2=-48x解析：令x=0得y=36,令y=0得x=-12,∴抛物线的焦点为(0,36)或（-12，0）.∴所求抛物线的标准方程为x2=144y或y2=-48x.答案：D3.已知点(-2，3)与抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为()A.4B.3C.2D.1解析：抛物线的焦点为(2p,0),由5)03()22(22p得p=4.答案：A4.若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x＜0)解析： 点F（4，0）在直线x+5=0的右侧，且P点到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，∴点P到F（4，0）的距离与到直线x+4=0的距离相等.故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p=8，故P点的轨迹方程为y2=16x.答案：C5.抛物线y=a1x2(a≠0)的焦点坐标为()A.(0，4a)或(0,-4a)B.(0,-41)C.(0,4a)D.(4a,0)解析：把方程写成x2=ay.若a>0，则p=2a,焦点为F（0,4a）;若a<0，则p=2a，开口向下，焦点1为F（0，4a）.答案：C6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_________.解析：由题设可知，圆与x轴的切点为抛物线的焦点∴圆心为（21,±1）,半径为1.∴圆的方程为(x-21)2+(y±1)2=1.答案：(x-21)2+(y±1)2=17.与抛物线y2=41x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_________.解析：所求抛物线方程为x2=41y,其准线方程是y=-161.答案：y=-1618.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是_________.解析：设P点的坐标为(x,y). |PF|=10,∴1+x=10.∴x=9.把x=9代入方程y2=4x中，解得y=±6.∴P点的坐标是(9,±6).答案：(9,±6)9.抛物线的焦点F在x轴上，A(m,-3)在抛物线上，且｜AF｜=5，求抛物线的标准方程.解：设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0). A点在抛物线上，∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.∴m=±p29.①又|AF|=2p+|m|=5.②把①代入②可得2p+p29=5,即p2-10p+9=0.∴p=1或p=9.∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x轴，求抛物线的方程.解：设M(x,y)为抛物线上的任意一点，则由抛物线的定义，得22)3()3(yx=|y|.平方整理，得y=61x2-x+3，为所求抛物线的方程.2点评：当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.综合运用11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.解：方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式，需将其化成标准方程.抛物线方程可化为x2=a1y,其中2p=||1a,∴p=||21a，焦点在y轴上.当a>0时，焦点坐标为(0,a41),准线方程为y=-a41;当a<0时，焦点坐标为(0,a41)，准线方程为y=-a41.综上所述，可知：抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,a41),准线方程为y=-a41.12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.解：设点P（x,y）,则x2=y.P到直线2x-y-4=0的距离d=555|42|yx|2x-x2-4|=55|x2-2x+4|=55［(x-1)2+3］.∴当x=1时，d最小，此时y=1.∴P(1,1)为所求.13.A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA·OB=0(O是原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；(2)直线AB过定点.证明：设A(x1,y1)、B(x2,y2),(1) OA·OB=0，∴OA⊥OB.∴2211yxxy.∴x1x2=-y1y2①由③②22222121pxypxy∴(y1y2)2=4p2(x1x2)④由①④得y1y2=-4p2且x1x2=4p2.∴结论成立.（2）在（1）中②-③，得（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2).3∴.2212121yypxxyy∴直线AB方程为y-y1=212yyp(x-x1).∴y=21112122yypxyxyyp=).2(22212121212121pxyypyyyyyyxyyp∴直线AB过定点(2p,0).拓展探究14.(经典回放)过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一条直线m，交抛物线于P1、P2两点.求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.证明：设P1P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，重足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物线的定义，得|P1F|=|P1Q1|，|P...