第三章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()①AB＋2BC＋2CD＋DC；②2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC；③AB＋CA＋BD；④AB－CB＋CD－AD.A．①②B．②③C．②④D．①④解析：①中，原式＝AB＋2BD＋DC＝AB＋BD＋BD＋DC＝AD＋BC，不符合题意；②中，原式＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＋(AC＋CD＋DA)＝0；③中，原式＝CD，不符合题意；④中，原式＝(AB－AD)＋(CD－CB)＝0.故选C.答案：C2．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析： l1∥l2，∴a∥b，则＝＝，∴x＝6，y＝.答案：D3．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为()A．(－2,2,0)B．(2，－2,0)C.D.解析：由OA＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H，故选C.答案：C4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AB与AC的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，|AB|＝3，|AC|＝，AB·AC＝3，∴cos〈AB，AC〉＝＝，∴〈AB，AC〉＝60°.答案：C5．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．5B．4C．3D．2解析：①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选B.答案：B6．已知向量AM＝，AN＝，则平面AMN的一个法向量是()A．(－3，－2,4)B．(3,2，－4)C．(－3，－2，－4)D．(－3,2，－4)解析：设平面AMN的法向量n＝(x，y，z)，则即令z＝4，则n＝(3，－2,4)，由于(－3,2，－4)＝－(3，－2,4)，可知选项D符合．答案：D7．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)或(1,1,1)C．(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)解析：设a＝(x，y，z)，AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3，2)则解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．1答案：B8．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．∴AB＝(，1,0)，SB＝(，1，－3)，SC＝(0,2，－3)．设面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．则令y＝3，则z＝2，x＝，∴n＝(，3,2)．设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.答案：D9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)．∴BA1＝(－1,0,1)，AC1＝(0,1,1)．∴cos〈BA1，AC1〉＝＝＝.∴〈BA1，AC1〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.答案：B10．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.B.2C.D.解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，所以AD1＝(－1,0,1)，AE＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒∴x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)， cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.答案：C11．在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A－P...
