3.2第3课时空间向量与空间距离（选学）[A基础达标]1．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为()A．1B.C.D.解析：选C.以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E(1，1，)，F，所以EF＝＝，故选C.2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为()A．10B．3C.D.解析：选D.由已知得PA＝(1，2，－4)，故点P到平面α的距离d＝＝＝.3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.解析：选B.建立空间直角坐标系如图所示，则BA＝(0，2，0)，BE＝(0，1，2)，设∠ABE＝θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝.故A到直线BE的距离d＝|AB|sinθ＝2×＝.4．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A．5B．8C.D.解析：选C.法一：因为B1C1∥BC，所以B1C1∥平面A1BCD1，从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．1如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E.因为BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，所以BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，所以B1E⊥平面A1BCD1，B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离．在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.法二：以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)．设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x≠0)．设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥BC，n⊥CD1，得n·BC＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，n·CD1＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0，5，12)．又B1B＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝.因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.5．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()A.B.C.D.解析：选B.以DA，DC，DD1为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，C1O＝C1A1＝，平面ABC1D1的一个法向量DA1＝(1，0，1)，点O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.故选B.6．在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则PB＝(2，0，－2)，BC＝(0，2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，2则即取a＝1，得n＝(1，0，1)，又AB＝(2，0，0)，所以d＝＝.答案：7．(2018·北京通州潞河中学高二(上)期中考试)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有GF＝(1，－1，－1)，GD1＝(0，－2，1)，所以＝＝，|GD1|＝，所以点D1到直线GF的距离为＝.答案：8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1D1＝(－1，0，0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝(－1，1，1)．所以点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.因为平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离．所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.9．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝，AM＝(2，0，1)，故点M到直线A...
