课时作业6曲线与方程求曲线的方程|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组方程表示相同曲线的是()A．y＝x与y＝B．y＝x2与y＝|x|C．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0D．y＝与y＝|x|解析：A中y＝x表示直线，y＝＝|x|表示两条射线；B中y＝x2表示抛物线，y＝|x|表示两条射线；C中前者表示圆，后者表示两条直线x＝1和y＝－2，故选D.答案：D2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．答案：C3．下列选项中方程与曲线能够对应的是()解析：A中方程表示圆，B中方程表示两条直线y＝x和y＝－x；D中方程可化为y＝(x>0)，只能取第一象限的图象．答案：C4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：设点P的坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，∴|MN|＝4，|MP|＝，MN·NP＝4(x－2)．根据已知条件得4＝4(2－x)．整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.1答案：B5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝＝5.设C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.解析：把A代入曲线得a＝5.答案：57．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为________．解析：设点P(x，y)，R(x0，y0)，因为A(1,0)，所以RA＝(1－x0，－y0)，AP＝(x－1，y)，因为RA＝AP，所以所以代入直线y＝2x－4可得y＝2x.答案：y＝2x8．已知直角三角形ABC中，A(2,0)，B(－1,2)，则直角顶点C的轨迹方程为________．解析：设C的坐标为(x，y)，因为AC⊥BC，所以·＝－1(x≠－1且x≠2)，化简得x2＋y2－x－2y－2＝0(x≠－1且x≠2)．答案：x2＋y2－x－2y－2＝0(x≠－1且x≠2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．讨论曲线C：|x|＋|y|＝1的性质，并画出其图象．解析：由|x|＋|y|＝1及|x|≥0，|y|≥0，知|x|≤1，|y|≤1，所以曲线C在直线x＝1，x＝－1，y＝1，y＝－1围成的正方形内(包括边界)．将x(或y)换为－x(或－y)，方程不变，则曲线C关于y轴(或x轴)对称，因此曲线C也关于原点对称．当x≥0，y≥0时，曲线C即x＋y＝1(0≤x≤1)，表示以(1,0)与(0,1)为端点的线段，由对称性知曲线C的图象如图所示．10．动点P(x，y)到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即＝2)，求动点P的轨迹方程．解析：∵|PA|＝，|PB|＝，2∴＝＝2，即(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2，化简得(x－5)2＋y2＝16，∴动点P的轨迹是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆．|能力提升|(20分钟，40分)11．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线是()解析：原方程等价于或x2＋y2－4＝0.当x＋y－1＝0时，原方程所表示的曲线是在直线x＋y－1＝0上且在圆x2＋y2＝4外的所有点．显然x2＋y2－4＝0表示圆x2＋y2＝4上各点．综上，可知正确答案为D.答案：D12．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.所以即将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2.答案：y＝4x213．已知△ABC中，A(－2,0)、B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心G的轨迹方程．解析：设△ABC重心G的坐标为(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得解得因为点C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，所以3y＋2＝3(3x＋2)2－1，化简得y＝9x2＋12x＋3，即△ABC的重心G的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.14．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．解析：设点M(x，y)．(1)当直线l1的斜率存在且不为零时，可设其方程为y－4＝k(x－2)，由l1⊥l2，得直线l2的方程为y－4＝－(x－2)．∴l1与x轴的交点A的坐标为(2－，0)，l2与y轴的交点B的坐标为(0,4＋)．∵点M为线段AB的中点，∴3消去k，得x＋2y－5＝0.(2)当直线l1的斜率不存在时，线段AB的中点为M(1,2)，也满足上述轨迹方程．综上所述，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.45
