初三数学解直角三角形的应用知识精讲二一.本周教学内容：解直角三角形的应用（二）二.重点、难点：1.理解并掌握直角三角形的四种基本类型。2.通过转化，灵活应用直角三角形的知识求解应用题。【知识回顾】一.解直角三角形的四种基本类型1.已知两条直角边，解三角形2.已知一条直角边和斜边，解三角形3.已知一条直角边和一个锐角，解三角形4.已知斜边和一个锐角，解三角形二.解直角三角形的方法1.“有弦用弦，无弦用切，宁乘毋除，取原避中”意即：有斜边则用正、余弦，无斜边用正、余切，能用乘法计算时尽量不用除法计算，若既可用已知数据也可用中间过程得出的数据时，则取“原始”而不用“中间数据”2.“非转直”意即：对于非直角三角形的图形，可添加适当的辅助线把它们分割成直角三角形和矩形来计算。【典型例题】例1.平行四边形的边长分别为3和6，一个内角为120，求它的两条高线的长。解析：只须构造以两条高线为直角边的两个直角三角形。通过“平行四边形邻角互补”以及“已知斜边和一个锐角”求解即可。平行四边形的两条高线长分别为h=3sin60º=和h=6sin60º=9例2.如图，四边形ABCD是面积为1的正方形，P为形内一点，ΔBPC为等边三角形，求SΔBPD。解：可用“割补法”来求这个面积。SΔPBD=S四边形PBCD-SΔBCD=SΔBPC+SΔPCD-SΔBCD又SΔBPC=×（1）×sin60º，SΔPCD=×(1)sin30º,SΔBCD=SΔPBD=+-=例3.设ΔABC的三边长为a，b，c。且∠C的平分线交AB于D。求证：CD的长为解析：过B作直线平行于CD，交AC的延长线于E（如图），则容易证明ΔCBE为等腰三角形，且∠E=∠CBE=∠ACB。CE=CB=a通过“转化”，将CD与ΔCBE“联系”求解即可。证明：CD‖BE，∠ACD=∠BCD=∠ACB∠E=∠CBE=∠ACBCE=CB=a又由“平行线分线段成比例”定理：即：过C作CH⊥BE于H，则RtΔCBH中，BH=BE=acosBE=2BH=2acos，CD=例4.是否存在这样的实数k，使得方程8x-2kx+k-1=0的两个实数根为一个直角三角形的两个锐角的正弦？若存在，求出k的值；否则，请说明理由解：对这一类“是否存在”型的数学问题，我们一般是先假设“存在”，然后据此严格论证。如若推理步步有据，逻辑严密，则必可得出存在的那个k的值；如若推理过程出现逻辑错误，则应否定假设的存在，从而说明“不存在”∴若存在这样的实数k，则设直角三角形的两锐角为A、B，cosA=sinB由题意，得Δ≥0∵Δ=4k-32（k-1）=4[k-8(k-1)]≥0∴k-8k+8=(k-4+2)(k-4-2)≥0∴k≤4-2或k≥4+2又∴∴k>1∴10）∴sinB=∠C=90∴sinC=1∴代入求解计算即可6.当时，△ADF与△DEB的面积和为最小，最小值为提示：设AD=x，则DF=x，BD=1-x，DE=∴y=S，代入相关数据，可求解得y=（0
