第7课时函数的极值与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=sinx+,x∈(0,π)的极大值是().A.+B.-+C.+D.1+【解析】f'(x)=cosx+,x∈(0,π),由f'(x)=0,即cosx=-,得x=,x∈时,f'(x)>0;x∈时,f'(x)<0,∴x=时,f(x)有极大值f=+.【答案】C2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的极小值是().A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c【解析】由f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(0,2)时,f'(x)>0.∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为减函数,在(0,2)上为增函数.∴当x=0时,f(x)取到极小值为f(0)=c.【答案】D3.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为().A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3【解析】f'(x)=3ax2+b,由题意可知解得1【答案】A4.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值,则ab的最大值为().A.2B.3C.6D.9【解析】f'(x)=12x2-2ax-2b.由于函数f(x)在x=1处有极值,则有f'(1)=0,即a+b=6(a,b>0),由于a+b≥2,即ab≤=9,当且仅当a=b=3时取最大值9.【答案】D5.直线y=a与函数y=x3-x2的图象有三个相异的交点,则实数a的取值范围是.【解析】f'(x)=x2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.∵f(0)=0,f(2)=-,∴-
0;当-22时,f'(x)>0.∴x=2是f(x)的极小值点.又a为f(x)的极小值点,∴a=2.【答案】27.求函数f(x)=的极值.【解析】函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗4e-2↘由上表可以看出,当x=0时,函数取得极小值,且为f(0)=0;当x=2时,函数取得极大值,且为f(2)=4e-2.拓展提升(水平二)8.设函数f(x)=xex,则().2A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】∵f(x)=xex,∴f'(x)=ex+xex=ex(1+x).当f'(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1,∴当x≥-1时,函数f(x)为增函数.同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数.∴x=-1时,函数f(x)取得极小值.【答案】D9.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是().【解析】因为[f(x)ex]'=f'(x)ex+f(x)(ex)'=[f'(x)+f(x)]·ex,且x=-1为函数f(x)·ex的一个极值点,所以f(-1)+f'(-1)=0,选项D中,f(-1)>0,f'(-1)>0,故不满足.【答案】D10.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;②函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;③函数f(x)在x=-处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值.其中正确的说法有.【解析】从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,①正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,②③错误;当x∈(0,1)时,f(x)在区间(0,1)上单调递减,而在区间(1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=1处取得极小值,④正确.【答案】①④11.若函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),且f(x)的极大值为,求实数m的值.3【解析】∵f(x)=x3+ax2+bx,∴f'(x)=3x2+2ax+b=0.∵f(x)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),∴解得∴f'(x)=(3x-m)(x-m).当m>0时,令f'(x)>0,解得x>m或x<;令f'(x)<0,解得0,解得x;令f'(x)<0,解得>x>m,∴函数f(x)在(-∞,m)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)在x=m处取得极大值f(m)=,而f(m)=0,不成立,综上,m=.4
