3.1.2空间向量的数乘运算课时跟踪检测一、选择题1．设M是△ABC的重心，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AM＝()A.(b－c)B．(c－b)C.(b－c)D．(c－b)解析：如图，∵M是△ABC的重心，∴AM＝×(AB＋AC)＝(AB－CA)＝(c－b)．答案：D2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1＝xAB－2yBC＋3zAA1，则x＋y＋z的值为()A.B．C.D．1解析：如图，∵AC1＝AC＋CC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋BC＋AA1，又∵AC1＝xAB－2yBC＋3zAA1，∴∴∴x＋y＋z＝1－＋＝.答案：C3．已知点P和不共线三点A，B，C共面，且对于空间任意一点O，都有OP＝2OA＋OB＋λOC，则λ＝()A．－2B．C．2D．－解析：点P与不共线三点A，B，C共面，且OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件，即2＋1＋λ＝1，故λ＝－2.答案：A4．已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是()A．a0＝b0B．a0＝b0或a0＝－b0C．a0＝1D．|a0|＝|b0|解析：∵a0，b0是单位向量，∴|a0|＝|b0|.答案：D5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB．a＋bC.a＋bD．a＋b解析：如图，作OG∥EF交DC于G.由DE＝EO，得DF＝FG，1又由AO＝OC，得FG＝GC，于是DF＝DC＝，则AF＝AD＋DF＝＋＝a＋b.答案：B6．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果PM＝PB1＋7BA＋6AA1－4A1D1，那么点M必()A．在平面BAD1内B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内D．在平面AB1C1内解析：因为PM＝PB1＋7BA＋6AA1－4A1D1＝PB1＋BA＋6BA1－4A1D1＝PB1＋B1A1＋6BA1－4A1D1＝PA1＋6(PA1－PB)－4(PD1－PA1)＝11PA1－6PB－4PD1，其中11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面，故选C.答案：C二、填空题7．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA边上，且OM＝2MA，N为BC的中点，用a，b，c表示MN＝________.解析：MN＝MO＋ON＝AO＋(OB＋OC)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.答案：－a＋b＋c8．下列各式可以确定A，B，C，D四点共面的是________(填序号)．①AB＝AC＋AD；②OD＝OA＋OB＋OC；③AB＝2CD；④OB＝OA＋AC＋AD.解析：①由AB＝AC＋AD可知向量AB，AC，AD共面，且有公共端点A，则可以确定A，B，C，D四点共面；②OD＝OA＋OB＋OC，其中系数＋＋＝1，则可以确定A，B，C，D四点共面；③由AB＝2CD，可知AB，CD共线，可以确定A，B，C，D四点共面；④OB＝OA＋AC＋AD，即有OB－OA＝AC＋AD，即AB＝AC＋AD，则可以确定A，B，C，D四点共面．答案：①②③④9．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点，则满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x＝________，y＝________，z＝________.解析：∵M为PC上的点，且PM∶MC＝2∶1，∴PM＝PC，又∵N为PD上的中点，∴PN＝PD.又∵MN＝PN－PM＝PD－PC＝(AD－AP)－(AC－AP)＝(AD－AP)－(AB＋AD－AP)＝－AB－AD＋AP.又∵MN＝xAB＋yAD＋zAP，2∴x＝－，y＝－，z＝.答案：－－三、解答题10.如图，已知M，N分别为四面体，A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．证明：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BG＝BA＋AG＝BA＋AM＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，BN＝BA＋AN＝BA＋(AC＋AD)＝－a＋b＋c＝BG，∴BN∥BG.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．11．如图，已知▱ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝kOA，OF＝kOB，OG＝kOC，OH＝kOD，求证：(1)四点E，F，G，H共面；(2)平面AC∥平面EG.证明：(1)EG＝OG－OE＝kOC－kOA＝kAC＝k(AB＋AD)＝kAB＋kAD＝k(OB－OA)＋k(OD－OA)＝(OF－OE)＋(OH－OE)＝EF＋EH，∴EG，EF，EH共面，又有公共点E，∴四点E，F，G，H共面．(2)EF＝OF－OE＝kOB－kOA＝kAB，∴EF∥AB.又∵EF⊂平面EG，AB⊄平面EG，∴AB∥平面EG，同理，可证AD∥平面EG，又AB，AD是平面AC内的两条相交直线，∴平面AC∥平面EG.12．直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.证明：因为MN＝MA′＋A′N，且点M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以MN＝BA′＋(A′B′＋A′C′)＝(B′A′＋AA′)＋(A′B′＋A′C′)＝AA′＋A′C′.3因为MN⊄平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.13．已知空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN＝()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD．a＋b－c解析：如图，MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.答案：B4
