高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元综合测试（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标可以是(C)A.B．(－1，－3,2)C.D．(，－3，－2)解析：a＝(1，－3,2)＝－2.2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则用向量a，b，c表示向量BD1为(D)A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．－a＋b＋c解析：BD1＝BA＋AD＋DD1＝－a＋b＋c.3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x等于(B)A．4B．－4C.D．－6解析：a＋b＝(－2,1,3＋x)， (a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0，∴－2－x＋2(3＋x)＝0，得x＝－4.4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a，b的夹角的余弦值为，则λ等于(C)A．2B．－2C．－2或D．2或－解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝×3×.解得λ＝－2或.5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果(C)A．2BC·CAB．2AD·DBC．2FG·ACD．2EF·CB解析：2BC·CA＝－a2，A错；2AD·DB＝－a2，B错；2EF·CB＝－a2，D错；只有C对．6．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于(C)A．19B．－C.D.解析：AB＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|AB|＝1＝＝，故当x＝时，|AB|取最小值，故选C.7．已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为(B)A．30°B．45°C．60°D．90°解析： AC＝AD＋AB，四边形ABCD，ABEF均为正方形，∴AC·FE＝(AD＋AB)·AB＝－AB·AD＋2＝1.∴|cos〈AC，FE〉|＝＝＝，∴AC与EF所成角为45°.8．如图所示，正方体ABCDA′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈DB′，CM〉的值为(B)A.B.C.D.解析：以DA，DC，DD′所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M，则DB′＝(1,1,1)，CM＝，cos〈DB′，CM〉＝，则sin〈DB′，CM〉＝.9.如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C、D间的距离为(C)A．1B．2C.D.解析：|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝.10．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)A．斜交B．平行C．垂直D．不能确定2解析：如下图所示， A1M＝AN＝a，∴A1M＝A1B，AN＝AC.∴MN＝MA1＋A1A＋AN＝－A1B＋A1A＋AC＝－A1B1－A1A＋A1A＋A1B1＋AD＝A1A＋AD＝B1B＋B1C1.∴MN，B1B，B1C1共面． MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.11．在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角APBC的平面角的正切值为(A)A.B.C.D.解析：设PA＝AB＝2，如图建立空间直角坐标系，平面PAB的一个法向量是m＝(1,0,0)，平面PBC的一个法向量是n＝(，1,1)．则cos〈m，n〉＝＝＝＝.∴正切值tan〈m，n〉＝.12．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成30°角，则的值等于(C)A．1B．23C.D.解析：取AD的中点O，则由OP⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD推出OP⊥平面ABCD，从而建立空间直角坐标系Oxyz，OD在x轴上，OP在z轴上，如右图所示，并设AD＝2a，AB＝2b，则P(0,0，a)，C(a,2b,0)，∴OC＝(a,2b,0)，PC＝(a,2b，－a)．易得OC，PC＝30°，得cos30°＝＝＝，解得b＝a，所以＝＝.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)＝－200.解析： 2a－3b＝2(4，－2，－4)－3(6，－3,2)＝(－10,5，－14)，a＋2b＝(4，－2，－4)＋2(6，－3,2)＝(16，－8，0)，∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－10×16＋5×(－8)－14×0＝－200.14．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为60°或120°.解析：cosm，n＝＝＝－，∴m，n＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.15.如图所示，在三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝B...