高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式高效演练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式[A级基础巩固]一、选择题1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则()A．x＋y＋z的最大值是3B．x＋y＋z的最大值是3C．x＋y＋z的最小值是3D．x＋y＋z的最小值是3解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥3＝3，当且仅当x＝y＝z＝时，x＋y＋z取得最小值3.答案：D2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为()A．nnB．2nC．n2D．2n＋1解析：x＋＝＋＋…＋,\s\up6(,n个))＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a.答案：A3．若a＞b＞0，则a＋的最小值为()A．0B．1C．2D．3解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋的最小值为3.答案：D4．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)解析：因为lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤＝23，所以lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B5．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C二、填空题6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．1解析：设这三个正数分别是a，b，c，则a＋b＋c＝1，所以abc≤＝，当且仅当a＝b＝c＝时，abc取得最大值.答案：7．函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________．解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤＝，当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．故函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值为.答案：8．若实数x，y满足x，y＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是________．解析：由x2y＝2，得y＝，代入xy＋x2，得xy＋x2＝x·＋x2＝＋x2＝＋＋x2≥3，当且仅当＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．答案：3三、解答题9．θ为锐角，求y＝sinθ·cos2θ的最大值．解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝时取等号．所以ymax＝.10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－.所以≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．B级能力提升1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥πD．V≤π解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·＝πr2(3－2r)≤π＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．答案：B2．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为______．解析：因为a＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．答案：823.如图，在一张半径是2m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：因为r＝，所以E＝k·，所以E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·＝，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝，tanθ＝，所以h＝2tanθ＝，即h＝时，E最大．所以当灯的高度h为m时，才能使桌子边缘处最亮．3