3.3.1函数的单调性与导数基础练习1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定【答案】A【解析】由f′(x)>0可知f(x)在(a，b)上单调递增，∴f(x)>f(a)≥0，即f(x)>0.故选A．2．(2019年江西九江期末)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.3．定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)且＞0对任意x≠2恒成立，则()A．f(x)在(－∞，2)上单调递减B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减C．f(x)在R上单调递减D．f(x)在R上单调递增【答案】B【解析】＞0对任意x≠2恒成立，所以当x<2时，f′(x)>0.当x>2时，f′(x)<0.所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．故选B．4.(2018年云南玉溪模拟)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋2在R上是减函数，则a的取值范围是()A．(－∞，3)B．(－∞，－3]C．(－3,0)D．[－3,0)【答案】B【解析】由f(x)＝ax3＋3x2－x＋2，得到f′(x)＝3ax2＋6x－1.因为函数在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0恒成立，所以由Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3，则a的取值范围是(－∞，－3]．故选B．5．函数y＝sinx－2x在R上的单调性是________．【答案】单调递减【解析】由y＝sinx－2x得y′＝cosx－2，∵－1≤cosx≤1，∴y′<0，即y在R上单调递减．6．函数f(x)＝x－lnx的单调减区间为________．【答案】(0,1)【解析】由题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)．则f′(x)＝1－＜0的解集为(0,1)．7．设函数f(x)＝lnx－x2－x，求f(x)的单调区间．解：根据题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x－＝.令f′(x)＞0，即＞0，解得0＜x＜1；1令f′(x)＜0，即＜0，解得x＞1.所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝2ax－，若f(x)在(0,1]上为增函数，求a的取值范围．解：∵f′(x)＝2a＋，f(x)在(0,1]上递增，∴x∈(0,1]时f′(x)≥0恒成立，即a≥－在x∈(0,1]时恒成立．∴a≥－1.∴a的取值范围是[－1，＋∞)．能力提升9．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)．当x≠0时，f′(x)＋>0.若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝ln2·f(ln2)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a
0时，由f′(x)＋>0得h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)>0，此时函数h(x)单调递增．∵a＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，c＝h(ln2)，又2>ln2>，∴b>c>a.10．(2019年山西太原模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝6，则不等式f(lgx)＜＋5的解集为()A．(0,10)B．(1,10)C．(，10)D．(10，＋∞)【答案】B【解析】由x2f′(x)＋1＞0，得f′(x)＋＞0.设g(x)＝f(x)－－5，则g′(x)＝f′(x)＋，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(1)＝0，故g(x)＜0的解集为(0,1)，即f(x)＜＋5的解集为(0,1)．由0＜lgx＜1，解得1＜x＜10.所以所求不等式的解集为(1,10)．11．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．【答案】(3,27)【解析】函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则f′(x)在区间(－3，－1)上有根．∴f′(x)＝3x2－k＝0在(－3，－1)上有解，即k＝3x2在区间(－3，－1)有解．又3x2∈(3,27)，∴k的取值范围是(3,27)．12．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，解得k＝1.(2)令h(x)＝－lnx－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．∴当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).23
