1.3.3全称命题与特称命题的否定[A.基础达标]1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题“对任意的x∈A，2x∈B”，则该命题的否定是()A．对任意x∈A，2x∉BB．对任意x∉A，2x∉BC．存在x∉A，2x∈BD．存在x∈A，2x∉B解析：选D.因为对任意都满足的否定是存在不满足的．2．下列四个命题中，真命题是()A．对任意的x∈R，x＋≥2B．存在x∈R，x＋≥2C．存在x∈R，|x＋1|<0D．对任意的x∈R，|x＋1|>0解析：选B.对于A：当x＝－1时，x＋＝－2<2，排除A；对任意x∈R，|x＋1|≥0，排除C和D，故选B.3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是()A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称C．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称解析：选C.命题“任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，p(x)不成立”．4．已知命题p：“对任意的x∈R，存在m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命题p的否定是假命题，则实数m的取值范围是()A．－2≤m≤2B．m≥2C．m≤－2D．m≤－2或m≥2解析：选C.由p的否定为假命题可知p为真命题，由4x＋2x·m＋1＝0得m＝－(2x＋2－x)，对任意的x∈R，2x＋2－x≥2＝2，故－[2x＋2－x]≤－2，由题意可得m≤－2.5．已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋3|，命题p：存在x∈R，f(x)
0，解得a<－1或a>3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)9．写出下列全称命题或特称命题的否定．(1)存在α，β∈Z，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(2)对任意的x∈R，都有x2－x＋≥0；(3)每条直线在y轴上都有一个截距．解：(1)特称命题的否定为：对任意的α、β∈Z，使sin(α＋β)≠sinα＋sinβ.(2)全称命题的否定为：存在x∈R，使x2－x＋＜0.(3)全称命题的否定为：存在一条直线在y轴上没有截距．110．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：无论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等；(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定为：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实数根，所以p的否定是真命题．(2)这一命题的否定是：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0.利用配方法可以验证q的否定是一个真命题．(3)这一命题的否定是：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知r的否定是一个假命题．(4)这一命题的否定是存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.由于命题s是真命题，所以s的否定是假命题．[B.能力提升]1．若“任意x∈[0，]，sinx＋cosx＜m”为假命题，则实数m的取值范围为()A．m＜1B．m≤1C．m≤2D．1≤m≤2解析：选C.令f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]，可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数，由于f(0)＝，f()＝2，f()＝1，所以1≤f(x)≤2，由于“任意x∈[0，]，sinx＋cosx＜m”为假命题，则其否定“存在x∈[0，]，sinx＋cosx≥m”为真命题，所以m≤f(x)max...
