【成才之路】2015-2016学年高中数学2.1.1第1课时归纳推理练习新人教A版选修2-2一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.B．△C．▭D．○[答案]A[解析]观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an＝()A．2n－2－B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－4[答案]B[解析] a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.故应选B.3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是()①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[答案]D[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－21C．6n＋2D．8n＋2[答案]C[解析]从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________________个互不重叠的单位正方形．()A．n2－2n＋1B．2n2－2n＋1C．2n2＋2D．2n2－n＋1[答案]B[解析]观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．(2015·隆化县存瑞中学高二期中)把正整数按图所示的规律排序，则从2013到2015的箭头方向依次为()[答案]A[解析] 1和5的位置相同，∴图中排序每四个一组循环，而2013除以4的余数为1，∴2013的位置和1的位置相同，∴2014的位置和2的位置相同，2015的位置和3的位置相同，故选A.[点评]位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，2014＝4×503＋2，因此2014的箭头方向应与2的相同．二、填空题7．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________________.2[答案](－1)n＋1[解析]注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1.8．(2013·陕西文，13)观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；……照此规律，第n个等式可为______________________________．[答案](n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)[解析]观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________________．[答案]S＝4(n－1)(n≥2)[解析]每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos＝，2cos＝，2cos＝，……[证明]2cos＝2·＝，2cos＝2＝2·＝，2cos＝2＝2＝…观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性...
