第2课时数列的通项公式与递推公式A级基础巩固一、选择题1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝(A)A．－3B．－4C．－5D．2[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(D)A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点[解析] an＝3n－2，n∈N*，∴数列{an}的图象是一群孤立的点．3．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(B)A．－B．C．－D．[解析] a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×(－)＝－，a5＝(－1)5×2×(－)＝.4．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(C)A．B．C．D．[解析] a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝.同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝(C)A．－7B．3C．15D．81[解析]由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3.又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C．6．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(D)A．4B．4C．4D．4[解析]由题知：an＋1＝，1a3＝＝，a4＝＝4，a5＝＝，a6＝＝，故an＝.所以a20＝＝＝4.故选D．二、填空题7．已知F(x)＝f(x＋)－1是R上的奇函数．an＝f(0)＋f()＋…＋f()＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__an＝n＋1__.[解析]因为F(x)＋F(－x)＝0，所以f(x＋)＋f(－x＋)＝2，即若a＋b＝1，则f(a)＋f(b)＝2.于是由an＝f(0)＋f()＋…＋f()＋f(1)(n∈N*)，得2an＝[f(0)＋f(1)]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＋[f(1)＋f(0)]＝2n＋2，所以an＝n＋1.8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为__，，，，__.[解析] an＝3n－1(n∈N*)，∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，∴bn＝＝.∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝.三、解答题9．一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……一直送到108名好汉的最后一名是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？[解析]设老汉上山一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝a2＋1.依次地进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝ak＋1，按照题目要求应有a109＝a108＋1＝2. a109＝2，∴a108＝2.依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.即老汉最初上山带了两匹千里马．B级素养提升一、选择题1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝(A)A．1B．1999C．1000D．－1[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(B)A．0B．－C．D．[解析] a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，….至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，周而复始． 20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－.3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(C2)A．－165B．－33C．－30D．－21[解析]由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是(B)A．40个B．45个C．50个D．55个[解析]交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，∴a10＝＝45.二、填空题5．数列{an}满足递推公式a1＝5，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前四项依次为__5，，，2__，它的通项公式为__an＝__.[解析]由＝(n≥2，n∈N*)，得＝，＝，…，＝(...
