第14课时导数(限时：10分钟)1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为()A．0.41B．3C．4D．4.1解析：＝＝＝4.1.答案：D2．函数y＝－在点处的切线方程为()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4D．y＝2x＋4解析：Δy＝－＋＝－＋2＝，∴＝.∴切线斜率k＝y′|x=12＝lim＝4.∴所求切线方程为y＋2＝4，即y＝4x－4.答案：B3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8m/s2，若v＝lim＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率解析：由于s(t)＝gt2，所以由导数的定义可得v(t)＝s′(t)．当t＝1s时，v(1)＝lim＝9.8(m/s)，所以9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率．答案：C4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝__________.解析：y′|x＝1＝lim＝lim＝lim(2a＋aΔx)＝2a，由已知2a＝2，a＝1.答案：15．求函数f(x)＝3x－在x＝1处的导数．解析：方法一(定义法)：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1＝2＋3Δx－＝3Δx＋，＝＝3＋，∴lim＝lim＝5，∴f′(1)＝5.方法二(导函数的函数值法)：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)1＝3(x＋Δx)－－3x＋＝3Δx－＋＝3Δx＋，＝3＋，∴f′(x)＝lim＝lim＝3＋.∴f′(1)＝3＋2＝5.(限时：30分钟)1．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数值y的增量为()A．1B．2C.D.解析：Δy＝－＝－1＝.答案：C2．已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]s内的平均速度是()A．5＋Δt(m/s)B．5＋(Δt)2(m/s)C．5(Δt)2＋Δt(m/s)D．5(Δt)2(m/s)解析：由定义有＝＝5＋Δt.答案：A3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交解析：f′(x0)＝0的几何意义为在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为0，因此切线应为与x轴平行或重合的直线．答案：B4．在x＝1附近取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①解析：①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77，故选B.答案：B5．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A．甲B．乙C．相同D．不确定解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，W1(t0－Δt)＜W2(t0－Δt)，但＜，2所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．答案：B6．已知函数y＝3，则其导函数y′＝__________.解析：＝＝0，y′＝lim＝0.答案：07．若质点A的运动方程为s＝2t2(其中s表示位移，t表示时间)，则t＝3时的瞬时速度为________．解析：瞬时速度v＝lim＝lim＝lim＝12.答案：128．给出下列四个命题：①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；②若函数f(x)＝2x2＋1的图象上点(1,3)邻近的一点为(1＋Δx,3＋Δy)，则＝4＋2Δx；③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④曲线y＝x3在点(0,0)处没有切点．其中正确的命题是________．解析：①f(x)＝在x＝0处导数不存在；④y＝x3在点(0,0)处存在切点(0,0)．②③正确．答案：②③9．求曲线y＝在点处的切线的斜率，并写出切线方程．解析：∵y＝，∴k＝lim＝lim＝lim＝－.∴当x＝时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.∴切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.10．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解析：＝＝3－Δx，f′(－1)＝lim＝＝lim(3－Δx)＝3.11．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.求：(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；(2)曲线在点P，Q处的切线方程．解析：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，∴y＝.y′＝lim＝lim＝lim＝lim＝.(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1.曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.3(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.4
