第三章3.2第2课时请同学们认真完成练案[24]A级基础巩固一、选择题1.(福州八县市协作校2018-2019学年期末)若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则(C)A.1⊂αB.l∥αC.l⊥αD.l与α相交[解析] 直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),∴a=-n,∴a∥n,∴l⊥α.故选C.2.若直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,,2),则m为(C)A.-4B.-6C.-8D.8[解析] l∥α,∴l与平面α的法向量垂直.故2×1+×m+1×2=0,解得m=-8,故选C.3.若n=(1,-2,2)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α法向量的是(C)A.(1,-2,0)B.(0,-2,2)C.(2,-4,4)D.(2,4,4)[解析] (2,-4,4)=2(1,-2,2)=2n,∴(2,-4,4)可作为α的一个法向量.4.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量n=(6,-3,6),则下列点P中在平面α内的是(A)A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)[解析]选项A: P(2,3,3),∴MP=(1,4,1),则n·MP=6-12+6=0,∴MP⊥n,∴P(2,3,3)在α内,故A正确,同理B,C,D不正确.5.四边形ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,则下列不等式①PA·AB=0;②PC·BD=0;③PA·CD=0;④PC·AB=0中成立的等式个数为(C)A.1B.2C.3D.4[解析]PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,∴PA·AB=0,①式成立;在菱形ABCD中,AC⊥BD,又PA⊥BD,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC,∴BD·PC=0,故②成立;PA⊥平面ABCD,则PA⊥CD,∴PA·CD=0,故③成立;④式不成立,故选C.6.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(C)A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确[解析]n1与n2不是平行向量,且n1·n2≠0,∴α,β相交且不垂直.二、填空题7.同时垂直于a=(2,2,1)、b=(4,5,3)的单位向量是__或__.1[解析]设所求向量为c=(x,y,z),则,解得,或.8.已知△ABC是B为直角顶点的等腰直角三角形,其中BA=(1,m,2)、BC=(2,m,n)(m、n∈R),则m+n=__-1__.[解析]由题意得BA·BC=0,且|BA|=|BC|,∴,∴.∴m+n=-1.三、解答题9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E、F分别是AD、PC的中点,求证:PC⊥平面BEF.[解析]如图,以A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2,BC=AD=2,四边形ABCD是矩形,∴A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).又E、F分别是AD、PC的中点,∴E(0,,0)、F(1,,1).∴PC=(2,2,-2)、BF=(-1,,1)、EF=(1,0,1),∴PC·BF=-2+4-2=0,PC·EF=2+0-2=0,∴PC⊥BF,PC⊥EF,∴PC⊥BF,PC⊥EF.又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.10.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;(2)证明:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.[解析]解法一:(1)解:当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行. △PBC中,E、F分别为BC、PB的中点.∴EF∥PC又EF⊄平面PAC而PC⊂平面PAC,∴EF∥平面PAC.(2)证明: PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,2∴EB⊥PA.又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP⊂平面PAB,∴EB⊥平面PAB,又AF⊂平面PAB,∴AF⊥BE,又PA=AB=1,点F是PB的中点,∴AF⊥PB,又 PB∩BE=B,PB,BE⊂平面PBE,∴AF⊥平面PBE. PE⊂平面PBE,∴AF⊥PE.所以无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.解法二:以A为原点,AD、AB、AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0)、P(0,0,1)、B(0,1,0),设D(a,0,0),则C(a,1,0).(1) E为BC的中点,F为BP的中点,∴E、F,∴EF=、AP=(0,0,1)、AC=(a,1,0).设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则,∴.取x=1,则n=(1,-a,0), EF·n=0,∴EF⊥n,又EF⊄平面PAC,∴EF∥平面PAC.(2) E在BC上,∴设E(m,1,0),∴PE=(m,1,-1),AF=, PE·AF=0,∴PE⊥AF.∴无论点E在边BC上何处,总有PE⊥AF.B级素养提升一、选择题1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA、D...