第15课时导数的运算(限时：10分钟)1．已知函数f(x)＝xsin，则f′＝()A．－B．0C．1D.解析：∵f(x)＝xsin＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx.∴f′＝cos－sin＝－.答案：A2．下列结论正确的是个数为()①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝logx，则y′＝－.A．0B．1C．2D．3解析：对①，y＝ln2是常数函数，y′＝0，故①错误；对②，y＝＝x－2，y′＝－2x－3＝，∴y′|x＝3＝－，故②正确；对③，易知其正确；对④，y＝logx，y′＝＝－，故④正确．答案：D3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.解析：根据导数的几何意义可得，k＝y′|x＝0＝e0＝1.答案：A4．若曲线运动的物体的位移s与时间t的关系为s＝＋2t2，则t＝2时的瞬时速度为__________．解析：s′＝′＋(2t2)′＝＋4t＝＋4t.∴t＝2时的瞬时速度为s′|t＝2＝＋8＝8.答案：85．已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解析：∵f(x)＝，g(x)＝alnx，∴f′(x)＝，g′(x)＝.设f(x)，g(x)的交点为(x0，y0)，则由已知得解得∴切线斜率k＝f′(x0)＝f′(e2)＝，切点为(e2，e)，∴切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.(限时：30分钟)1．下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是()1A．0B．1C．2D．3解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而′＝0，所以②错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；′＝(－x－)′＝x－＝，所以④正确，故选B.答案：B2．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x解析：y′＝－3x2＋6x，k＝－3×12＋6×1＝3，又切线过点(1,2)，则切线方程为y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.答案：A3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝()A．－3B．2eC.D.解析：∵f′(1)为常数，∴f′(x)＝2exf′(1)＋，∴f′(1)＝2ef′(1)＋3，∴f′(1)＝.答案：D5．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8解析：求导得y′＝－x－(x＞0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－.由点斜式得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴、y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.答案：A6．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝__________.解析：∵f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4.又∵f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.答案：7．已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．解析：由已知2x0＝－3x，∴x0＝0或－.答案：0或－28．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2013(x)＝__________.解析：由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，依次类推可得f2013(x)＝f1(x)＝cosx.答案：cosx9．求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.解析：(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex.(3)y′＝′＝＝＝－.10．已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率k＝f′(x0)＝2x0，故切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，∵P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x，∴切线方程为：y－x＝2x0(x－x0)，又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得：5－x＝2x0(3－x0)，解得：x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2×1×(x－1)或y－25＝2×5×(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解析：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由解得所以a、b、c的值分别为3、－11、9.3
