高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式（第3课时）课后训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.1不等式3.三个正数的算术－几何平均不等式练习1．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥1π8D．V≤1π83．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．44．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．336B．22C．12D．31255．若a＞b＞0，则1()abab的最小值为()A．0B．1C．2D．36．函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．7．若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．8．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤127；②1abc≥27；③a2＋b2＋c2≥13；④ab＋bc＋ca≤13.其中正确不等式的序号是________．9．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．10．已知a，b，c均为正数，证明2222111()abcabc≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．1参考答案1.答案：B∵lgx＋lgy＋lgz＝lg(xyz)，而xyz≤3()3xyz＝23，∴lgx＋lgy＋lgz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．2.答案：B如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3.V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤3π()3RRh＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时取等号．3．答案：Cxy＋x2＝1122xyxy＋x2≥2311322xyxyx＝22313()4xy＝3434＝3.当且仅当12xy＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．4.答案：C∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3233222xyz＝32332xyz＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝23时，取等号．5.答案：D∵a＋1()bab＝(a－b)＋b＋1()bab≥313()()abbbab＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋1()bab的最小值为3.6.答案：839839∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤2223sinsin2cos8()3xxx＝8×827＝6427，∴y2≤6427，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±2时取等号．∴ymax＝839，ymin＝839.7.答案：334∵xy2＝4，x＞0，y＞0，2∴x＝24y，∴x＋2y＝24y＋2y＝24y＋y＋y≥3243yyy＝334.当且仅当x＝y＝34时等号成立，此时x＋2y的最小值为334.8.答案：①②③④∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b＋c≥33abc，0＜abc≤31()3＝127，1abc≥27.从而①正确，②也正确，又1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，∴a2＋b2＋c2≥13，从而③正确，又2＝2(a＋b＋c)2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca)，0＜ab＋bc＋ca≤26＝13，∴④正确．9.解：设正六棱柱容器底面边长为x(x＞0)，高为h，由下图可有2h＋3x＝3，∴h＝3(1)2x，V＝S底·h＝6×234x·h＝2333(1)22xx＝2323(1)222xxx3≤9×3122()3xxx＝.当且仅当2x＝2x＝1－x，即x＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器的容积最大，为13.10．证明：因为a，b，c均为正数，由算术－几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥233()abc，①111abc≥133()abc，所以2111()abc≥239()abc.②故a2＋b2＋c2＋2111()abc≥22333()9()abcabc.又22333()9()abcabc≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当233()abc＝239()abc时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝143时，原式等号成立．4