高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式阶段质量检测B卷（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第四讲用数学归纳法证明不等式（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设S(n)＝＋＋＋…＋，则()A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋解析：选DS(n)共有n2－n＋1项，S(2)＝＋＋.2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证()A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝4答案：C3．用数学归纳法证明当n∈N*时1＋2＋22＋…＋22n＝22n＋1－1时，当n＝1时左边为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23解析：选C因为左边为2n＋1项和，所以n＝1时，左边＝1＋2＋22.4．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式…>成立时，当n＝2时验证的不等式是()A．1＋>B.>C.≥D．以上都不对解析：选A当n＝2时，左边＝1＋＝1＋，右边＝＝，∴1＋>.5．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和S＝(n－2)π对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．4D．5解析：选Bn边形的最少边数为3，则n0＝3.6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.解析：选B当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()1A．假设当n＝k(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，xk＋yk能被x＋y整除解析：选D第k个奇数应是n＝2k－1(k∈N*)．8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋B．f(k＋1)＝f(k)＋πC．f(k＋1)＝f(k)＋D．f(k＋1)＝f(k)＋2π解析：选B凸多边形每增加一条边，内角和增加π.9．下列代数式，n∈N*，可能被13整除的是()A．n3＋5nB．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1D．42n＋1＋3n＋2解析：选DA中，n＝1时，1＋5＝6，不能被13整除；B中，n＝1时，35＋53＝368不能被13整除；C中，n＝1时，6＋1＝7亦不能被13整除．10．用数学归纳法证恒等式＋＋＋…＋＝，由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上()A.B.＋C.D.解析：选D观察等式左边可知n＝k＋1时，应再加上.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边增加的项数是________．解析：令f(n)＝1＋＋＋…＋，则f(k)＝1＋＋＋…＋，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，所以f(k＋1)－f(k)＝＋＋…＋，分母首项为2k＝a1，分母末项an＝2k＋1－1，公差d＝1，∴n＝＋1＝2k.答案：2k12．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项an＝________.解析：法一：分别令n＝1,2,3求出a2＝，a3＝，通过不完全归纳法知an＝.法二：对已知等式因式分解得·(an＋1＋an)＝0.由an>0知＝，再由累乘法求得an＝.答案：13．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝________.解析：等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(－1)n＋1，和的绝对值是前n个自然数的和，为.答案：(－1)n＋1·214．利用数学归纳法证明“<”时，n的最小取值n0应为________．解析：n0＝1时不成立，n0＝2时，<，再用数学归纳法证明，故n0＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N*)，命题成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1...