充要条件A级基础巩固一、选择题1.已知集合A为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为“A∩{0,1}={0}”得不出“A={0}”,而“A={0}”能得出“A∩{0,1}={0}”,所以“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件.答案:B2.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.在等比数列{an}中,a1=1,则“a2=4”是“a3=16”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:数列{an}中,a1=1,a2=4,则a3=16成立,反过来若a1=1,a3=16,则a2=±4,故不成立,所以“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件.答案:A4.如果A是B的必要不充分条件,B是C的充要条件,D是C的充分不必要条件,那么A是D的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A5.设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由题意,x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.答案:A二、填空题6.给定空间中直线l及平面α,条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件.解析:“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l与平面α垂直”.答案:充要7.已知α,β角的终边均在第一象限,则“α>β”是“sinα>sinβ”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).解析:若α=370°>β=30°,而sinαβ”推不出“sinα>sinβ”,若sin30°>sin370°,而30°<370°,所以“sinα>sinβ”推不出“α>β”.答案:既不充分也不必要条件8.已知a,b为两个非零向量,有以下命题:1①a2=b2;②a·b=b2;③|a|=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要不充分条件的命题是________(将所有正确命题的序号都填在题中横线上).答案:①②③三、解答题9.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.证明:先证必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1.由于p≠0,p≠1,所以当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,则=p,即(p-1)·p=p(p+q),所以q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠q且p≠1且q=-1.再证充分性:当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,an=(p-1)pn-1,=p(n≥2),所以{an}是等比数列.综上所述,命题得证.10.已知条件p:|x-1|>a和条件q:2x2-3x+1>0,求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.解:依题意a>0.由条件p:|x-1|>a得x-1<-a或x-1>a,所以x<1-a或x>1+a,由条件q:2x2-3x+1>0,得x<或x>1.要使p是q的充分不必要条件,即“若p,则q”为真命题,逆命题为假命题,应有解得a≥.令a=1,则p:x<0,或x>2,此时必有x<,或x>1.即p⇒q,反之不成立.所以,使p是q的充分不必要条件的最小正整数a=1.B级能力提升1.已知函数f(x)=则“a≤-2”是“f(x)在R上单调递减”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C2.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.答案:3或42