题组层级快练(二十六)1．(2016·山东威海质检)已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝()A．2B．3C．4D．5答案D解析 a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，∴b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)．∴a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.2．(2016·长沙雅礼中学月考)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2答案B解析由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C．－D．－答案A解析AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，|CD|＝5，故AB在CD上的投影为＝＝.4．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案A解析由条件可得(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.5．(2016·珠海质检)已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.答案A解析因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.6．(2015·广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2答案A解析由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2，1)·(3，－1)＝5，故选A.7．(2014·大纲全国理)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.答案B解析利用向量的运算列式求解．由题意知即将①×2－②，得2a2－b2＝0.∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝.8．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10答案C解析AC·BD＝(1，2)·(－4，2)＝0，故AC⊥BD.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·|AC|·|BD|＝××2＝5，选C.9．已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝()A．2＋B.C．3D.答案D解析 |p|2＝1＋1＋2cos，∴|p|＝.10．已知两个非零向量a，b，满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b答案B解析由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简，得a·b＝0.又a，b都是非零向量，所以a⊥b.11．已知向量a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|等于()A.B．2C．5D．25答案C解析由a＝(1，2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5. |a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝20.∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C.12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2·P1P3B.P1P2·P1P4C.P1P2·P1P5D.P1P2·P1P6答案A解析由于P1P2⊥P1P5，故其数量积是0，可排除C；P1P2与P1P6的夹角为π，故其数量积小于0，可排除D；设正六边形的边长是a，则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos30°＝a2，P1P2·P1P4＝|P1P2||P1P4|cos60°＝a2.故选A.13．(2014·陕西文)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________．答案解析利用向量的数量积列出关于θ的三角等式并利用倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解．因为a·b＝0，所以sin2θ－cos2θ＝0，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.14．(2013·江西理)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．答案解析向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝.15．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．答案－解析由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b.而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．16．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．答案1，1解析以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0，0)，...
