1.1直角坐标系,平面上的伸缩变换课时过关·能力提升1若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,3),C(3,1),则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析:|AB|¿√(2-1)2+(3-2)2=√2,|BC|¿√(3-2)2+(1-3)2=√5,|AC|¿√(3-1)2+(1-2)2=√5,|BC|=|AC|≠|AB|,△ABC为等腰三角形.答案:A2有相距1400m的甲、乙两个观察站,在甲站听到爆炸声的时间比在乙站听到爆炸声的时间早4s.已知当时声音的传播速度为340m/s,则爆炸点所在的曲线为()A.双曲线B.直线C.椭圆D.抛物线答案:A3在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换{X=5x,Y=3y后,曲线C变为曲线2X2+8Y2=1,则曲线C的方程为()A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1D.225x2+89y2=1解析:将{X=5x,Y=3y代入2X2+8Y2=1,1得2(5x)2+8(3y)2=1,即50x2+72y2=1为所求的曲线C的方程.答案:A4平行四边形ABCD中三个顶点A,B,C的坐标分别是(-1,2),(3,0),(5,1),则顶点D的坐标是()A.(9,-1)B.(-3,1)C.(1,3)D.(2,2)解析:设D(x,y),则由题意,得⃗AB=⃗DC,即(4,-2)=(5-x,1-y),∴{x=1,y=3,即D(1,3).答案:C5将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为()A.{X=13xY=2yB.{X=12xY=3yC.{X=3xY=12yD.{X=3xY=2y解析:由伸缩变换公式{X=ax,a>0,Y=by,b>0,得{-6=a×(-2),1=b×2.∴a=3,b¿12,故伸缩变换公式为{X=3x,Y=12y.答案:C6在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变换{X=13x,Y=2y后的直线方程为()A.3X-4Y+1=02B.3X+Y-1=0C.9X-Y+1=0D.X-4Y+1=0解析:由伸缩变换{X=13x,Y=2y得{x=3X,y=12Y,代入方程3x-2y+1=0有9X-Y+1=0.答案:C7在伸缩变换{X=2x,Y=12y的作用下,点P(1,−2)变换为点P',则点P'的坐标为.答案:(2,-1)8将对数曲线y=log3x上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线方程为.答案:y=log3x29在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换{X=12x,Y=13y后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解:(1)由伸缩变换{X=12x,Y=13y,得{x=2X,y=3Y,将其代入方程5x+2y=0,得5X+3Y=0.所以经过伸缩变换{X=12x,Y=13y后,直线5x+2y=0变成直线5X+3Y=0.3(2)将{x=2X,y=3Y代入方程x2+y2=2,得X214+Y219=2,即X212+Y229=1.所以经过伸缩变换{X=12x,Y=13y后,圆x2+y2=2变成椭圆X212+Y229=1.★10某种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得这种商品后返回的费用是:每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A,B两地的距离为10km,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低,求A,B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点?解:以A,B所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买这种商品便宜,并设A地的运费为3a元/千米,则B地的运费为a元/千米.因为P地居民购货总费用满足条件:价格+A地运费≤价格+B地运费,即有3a√(x+5)2+y2≤a√(x-5)2+y2,又a>0,所以3√(x+5)2+y2≤√(x-5)2+y2,两边平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,4即(x+254)2+y2≤(154)2,所以以点C(-254,0)为圆心,154为半径的圆是两地售货区域的分界线,圆C内的居民从A地购货,圆C外的居民从B地购货,圆C上的居民可从A,B两地之一购货.5
