高中数学6.3数学归纳法同步精练湘教版选修2-21．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，验证n＝1时等式的左边为()．A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于()．A．1B．2C．3D．03．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()．A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确4．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋且n＞1)”时，由n＝k(k＞1)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()．A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋15．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是()．A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立6．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．7．将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N＋)个全等的小正三角形(图甲，图乙分别给出了n＝2，3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)，都分别依次成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，f(3)＝__________，…，f(n)＝__________.甲乙8．证明tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N1＋)．9．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍代的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量．(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于a，如果b＝a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg2≈0.30)2参考答案1．C当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.2．C在凸n边形中，边数最少的是三角形．3．B4．C增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.5．D对于选项A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于选项B，要求递推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于选项C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于选项D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立．6．25(34k＋2＋52k＋1)＋56·32k＋2当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·33k＋2.7．(n＋1)(n＋2)8．证明：(1)n＝2时，左边＝tanα·tan2α，右边＝－2＝·－2＝－2＝＝＝tanα·tan2α.∵左边＝右边，∴等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即有tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝－k.当n＝k＋1时，tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝－k＋tankα·tan(k＋1)α＝－k＝tan(k＋1)α－tanα]－k＝－(k＋1)，所以n＝k＋1时，等式也成立．故由(1)(2)知，n≥2，n∈N＋等式恒成立．9．解：(1)设第一年后的森林木材存量为a1，第n年后的森林木材存量为an，∴a1＝a－b＝a－b，a2＝a1－b＝－b＝2a－b，a3＝a2－b＝3a－b，由上面的a1，a2，a3推测an＝na－b＝na－4b(n∈N＋)．证明如下：①当n＝1时，a1＝a－b，结论成立．②假设当n＝k时，ak＝ka－4b成立．则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－b＝－b＝k＋1a－4b.也就是说当n＝k＋1时，结论也成立．由①和②可知，对n∈N＋结论成立．(2)当b＝a时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于a，∴na－4a＜a，即n＞5.两边取常用对数，得nlg＞lg5，即n＞＝≈7.3∴经过8年后该地区就开始水土流失．4
