高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业2 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

反证法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·山东高考)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”【补偿训练】(2015·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°【解析】选B.三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确.2.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.3.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则()A.a，b，c都是正数B.a，b，c都大于1C.a，b，c都小于2D.a，b，c中至少有一个不小于【解析】选D.假设a，b，c均小于，则a+2·b+c<+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.14.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.5.(2015·杭州高二检测)设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，即a+<2，b+<2，c+<2，所以++<6，又a>0，b>0，c>0，所以++=++≥2+2+2=6.这与假设矛盾，所以假设不成立.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是.【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是.【解析】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.答案：“三角形中最少有两个内角是直角”7.(2015·广州高二检测)用反证法证明命题：“已知a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为.【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，b∈N+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整2除”.答案：a，b都不能被5整除8.(2015·郑州高二检测)对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)=x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是.【解析】假设f(x)=x2+2ax+1存在好点，亦即方程f(x)=x有实数根，所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根，则Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0，解得a≤-或a≥，故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是-1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b)，求证a+b<.【证明】(1)假设f(m)<0且f(n)<0，即m3-m2<0，n3-n2<0，因为m>0，n>0，所以m-1<0，n-1<0，所以01矛盾...