§3柱坐标系和球坐标系课后篇巩固探究A组1.在空间球坐标系中,方程r=2表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面解析:由球坐标系的定义知,r=2表示半球面,故选D.答案:D2.设点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是()A.B.C.D.解析:设点M的柱坐标是(r,θ,z),则r==2,θ=,z=3,故点M的柱坐标是,故选C.答案:C3.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为()A.B.C.D.解析:设点M的球坐标为(r,φ,θ).1由坐标变换公式,得r==2,cosφ=,得φ=.∵tanθ==1,∴θ=.∴点M的球坐标为,故选B.答案:B4.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为()A.2B.C.2D.4解析:设点M的直角坐标为(x,y,z).∵(r,φ,θ)=,∴∴M(-2,2,2).∴点M到Oz轴的距离为=2.故选A.答案:A5.若点M的球坐标为,则点M的直角坐标为.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),则2故点M的直角坐标为.答案:6.导学号73144016在柱坐标系中,已知点M的柱坐标为,则|OM|=.解析:设点M的直角坐标为(x,y,z).由(r,θ,z)=知x=rcosθ=2cos=-1,y=2sin.因此|OM|===3.答案:37.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,求这两个点的直角坐标.解设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设点B的直角坐标为(x',y',z'),则x'=sincos,y'=sinsin,z'=cos.3所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.8.在柱坐标系中,求满足的动点M(r,θ,z)围成的几何体的体积.解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足r=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(r,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,如图所示.圆柱的底面半径r=1,h=2.所以V=Sh=πr2h=2π.9.已知在球坐标系中,M,N,求|MN|.解(方法一)∵由题意知,|OM|=|ON|=6,∠MON=,∴△MON为等边三角形.∴|MN|=6.(方法二)设点M的直角坐标为(x,y,z),则故点M的直角坐标为,同理得点N的直角坐标为,故|MN|==6.B组1.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()4A.B.C.D.答案:A2.已知空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若点M的球坐标为(r,φ,θ),则应有()A.φ=B.θ=C.φ=或φ=D.θ=或θ=解析:由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=或θ=.答案:D3.若点P的柱坐标为,则点P到直线Oy的距离为()A.1B.2C.D.解析:由于点P的柱坐标为,故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为2cos,故点P到直线Oy的距离为.答案:D4.已知点M的球坐标为,则点M的柱坐标为()A.B.C.D.5解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(ρ,θ,z),则所以点M的直角坐标为(1,1,),又所以点M的柱坐标为.答案:C5.已知在柱坐标系中,点M的柱坐标为,且点M在数轴Oy上的射影为点N,则|OM|=,|MN|=.解析:设点M在平面Oxy上的射影为点P,则PN为线段MN在平面Oxy上的射影.∵MN⊥直线Oy,MP⊥平面xOy,∴PN⊥直线Oy.∴|OP|=ρ=2,|PN|==1.∴|OM|==3.在Rt△MNP中,∠MPN=90°,∴|MN|=.答案:36.如图,长方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=3,|OD'|=2,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的柱坐标.6解∵∠AOC=,|OC|=3,∴点C的柱坐标为.∵|OB|==3,|BB'|=2,∠AOB=,∴点B'的柱坐标为.同理,点P的柱坐标为.7.导学号73144017如图,在柱坐标系中,已知点O(0,0,4),A(3,θA,4),B1(3,,0),其中θA-=60°,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.解如图,连接O1B1,作OB∥O1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,∠AOB=60°,则△OAB为等边三角形.∵BB1∥OO1,∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1⊥圆O所在的平面,∴BB1⊥AB.7在Rt△ABB1中,tan∠AB1B=,∴∠AB1B≈37°,|AB1|==5,即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角约为37°,AB1的长为5.8
