课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：选C同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()解析：选B方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN�|·|MP�|＋MN�·NP�＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选B设点P的坐标为(x，y)，则MN�＝(4,0)，MP�＝(x＋2，y)，NP�＝(x－2，y)，∴|MN�|＝4，|MP�|＝，MN�·NP�＝4(x－2)．根据已知条件得4＝4(2－x)．整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：选B由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，1线段AB的长度|AB|＝＝5．设C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0．6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0． (x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，∴解得从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足PM�·PN�＝12，则点P的轨迹方程为________________．解析：设P(x，y)，则PM�＝(－2－x，－y)，PN�＝(2－x，－y)．于是PM�·PN�＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．答案：x2＋y2＝168．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1．又M为AB的中点，所以即将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2．答案：y＝4x29．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP�·MN�＝4，求动点P的轨迹方程．解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则MN�＝(x，－2y)，故OP�·MN�＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4．10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ�＝OM�＋ON�，求动点Q的轨迹．解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ�＝OM�＋ON�，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，则x0＝x，y0＝．又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4(y≠0)．所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．层级二应试能力达标1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝02B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：选A设动点P(x，y)，则由|PA|＝3|PO|，得＝3．化简，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．2．下列四组方程表示同一条曲线的是()A．y2＝x与y＝B．y＝lgx2与y＝2lgxC．＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝解析：选D根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．3．方程y＝－对应的曲线是()解析：选A将y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．4．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为()A．B．C．或D．或解析：选C将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cosα...
