第10课时“杨辉三角”与二项式系数的性质基础达标(水平一)1.若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则a1+a2+a3+…+a11的值为().A.-1B.1C.3D.5【解析】令x=2,得-5=a0,令x=3,得0=a0+a1+a2+a3+…+a11,所以a1+a2+a3+…+a11=-a0=5.【答案】D2.若(-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=().A.1B.-1C.2D.-2【解析】令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(-1)10,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=(+1)10,故(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a10)=(-1)10×(+1)10=1.【答案】A3.已知+2+22+…+2n=729,则++的值为().A.64B.32C.63D.31【解析】由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6,则++=++==32.【答案】B4.把通项公式为an=2n-1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵.记S(m,n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数,则S(10,6)对应数阵中的数是().135791113151719……A.91B.101C.103D.106【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn},则b1=1,bn-bn-1=2(n-1),∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2[(n-1)+(n-2)+…+1]+1=n2-n+1,∴b10=102-10+1=91,S(10,6)=b10+2×(6-1)=101.【答案】B5.若展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项是.【解析】令x=1,得2n=32,所以n=5.1Tr+1=(x2)5-r·=·x10-5r,由10-5r=0,得r=2,故展开式中的常数项是=10.【答案】106.已知(1+x)n展开式的第五、六、七项系数成等差数列,求展开式中系数最大的项为.【解析】在(1+x)n的展开式中,第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数,即分别是、、.由题意有+=2,即n2-21n+98=0,解得n=14或n=7.当n=14时,(1+x)n展开式的系数最大的项为T8=·x7=3432x7;当n=7时,(1+x)n展开式中系数最大的项为T4=x3=35x3或T5=x4=35x4.【答案】3432x7或35x4或35x37.观察下列数表,试求出此表的最后一个数字.【解析】因为第1行有100个数,以后每一行都比前一行少1个数,因此共有100行.通过观察可以得到:第1行首尾两项之和为101;第2行首尾两项之和为101×2;第3行首尾两项之和为101×22;第4行首尾两项之和为101×23;……第99行首尾两项之和为101×298.因为从第2行开始,每一个数字是它“肩上”两个数字之和,所以最后一个数字,即第100行的数字是它“肩上”两个数字之和,即101×298.拓展提升(水平二)8.已知的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项为().A.6B.9C.12D.18【解析】由二项展开式的性质,可得各项的二项式系数之和B=2n,令x=1,可得各项系数之和A=(1+3)n=4n.因为A+B=72,所以4n+2n=72,解得n=3.因为的展开式的通项为Tr+1=2()3-r=3r,令=0,可得r=1,所以展开式中常数项为T2=3×=9,故选B.【答案】B9.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么的值为.【解析】当x=1时,1=a0+a1+a2+a3+a4+a5;当x=-1时,35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,∴a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,a5=(-1)5=-1,∴a1+a3=-120,∴=-.【答案】-10.在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示.那么,在“杨辉三角”中,第行会出现三个相邻的数,其比为3∶4∶5.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051……【解析】根据题意,设所求的行数为n,则存在正整数k,使得连续三项,,,有=,且=.化简得=,=,联立解得k=27,n=62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.【答案】6211.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中,x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值.(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.【解析】(1)由已知+2=11,所以m+2n=11,3x2项的系数为+22=+2n(n-1)=+(11-m)·=+.因为m∈N*,所以m=5时,x2项的系数取得最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2项的系数取得最小值时,m=5,n=3,所以f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次项的系数之和为30.4
