数列与递推关系VIP免费

数列与递推关系第三节数列是定义在自然数集上的函数.数列的有关问题往往围绕通项与求和问题展开,数列问题涉及数列的通项、求和、数列的性质(如单调性、周期性、整除性、取值范围等等);另外,还常与函数迭代、集合分拆、初等数论等其它知识交织成综合题.由于其中不少问题可以转化归结为递推数列问题,因此这里主要介绍递推数列.一.递推数列的通项公式例1已知,23,2,01210nnnaaaaa求na的表达式.解一(辅助数列法)),(2112nnnnaaaa令,1nnnaab则}{nb是20b首项且公比为2的等比数列,.21nnb故.,2,1,0,211naannn叠加得,2222221210nnnnaa因此,.221nna解二(特征方程法)解特征方程,232xx得.2,121xx可设有.21nnnxxa由,2,010aa,220得解得.22所以.221nna解三(母函数法)设}{na的母函数为222210)(nnnnxaxaxaxaaxf则2112103333)(3nnnnxaxaxaxaxxf22312022222)(2nnnnxaxaxaxaxfx三式相加,并注意到,02312nnnaaa得,0)3()()231(0102xaaaxfxx,0)3()()231(0102xaaaxfxx即)21)(1(2)(xxxxfxx21212由于,110nnxx故00)2(22)(nnnnxxxf.)22(01nnnx因此,.221nna例2设函数,)],([)(,12)(111Nnxffxfxxfnn记,2)2(1)2(nnnffa则(2003年,“希望杯”高一第1试).99a解(不动点法),1)(2)(1xfxfnn令12xx得不动点.2,121xx于是,1)(1)(1)(1xfxfxfnnn.1)()2)((22)(1xfxfxfnnn相比得,2)(1)(212)(1)(21xfxfxfxfnnnn即,211nnaa由811a及等比数列通项公式得.)21(2nna所以.)21(10199a例3已知求表达式.),3(3,2,1211321naaaaaaannnnna分析对非齐次递推式,有时可采用齐次化方法简化递推关系,达到解决问题的目的.解 ,3121nnnnaaaa∴.3213nnnnaaaa两式相加,并整理得.23111nnnnnnaaaaaa令,11nnnnaaab上式说明}{nb的奇数项相等,偶数项也相等.而,3,332bb故),2(3nbn即)2(311naaannn)2(311naaannn解特征方程132xx得,253,25321xx可设.21nnnxxa由121aa得22212111xxxx解得55255525于是.)553(5525)553(5525nnna例4已知数列}{na满足,30a,18)6)(3(1nnaa则niia11的值为.(2004年全国高中)解显然,06na于是．631nnnaaa由30a易见及归纳法.0na从而．31211nnaa因此31211nnaa3132231]312[2222nnaa31)1222(1nn．3121n∴)]1()222[(311221nannii．)32(313nn“九连环”是中国先人创造的智力游戏.在2002年北京世界数学家大会期间,这个古老的游戏引起了与会数学家们的浓厚兴趣.该游戏依赖以下两个原则:(1)第1个环任何情况下,可下也可上;(2)如果某一环在上,而它前面所有环都在下,则这个环的后一个环可上也可下.记上“连环”总共需要步；nnS当“连环”完成n后接着完成“连环”1n1n个环需要1nS步,由原则(2)知先卸下前再上第1n个环要1步,再装上前1n个环要1nS步,所以,新增加的步骤数为，1na注意第n个环可上也可下.1211nnSa又,2,121SS因此“n象为数学问题就是连环”问题抽,2,121SS[九连环]设数列}{na前已知例5n项之和为,nS.1211nnSa求.nS解因为,1211nnSa所以,1211nnnSSS．)1(2111nnnnSSSS由等比数列通项公式,有．nnnSS211整理得整理得．)21232(2123211nnnnSS由等比数列通项公式,有．11)21()21232(21232nnnSS故．])1(32[6112nnnS．11)21()21232(21232nnnSS注：30...