高中数学 第2章222第一课时等差数列的前n项和课件 新人教B版必修5 课件VIP免费

2.2.2等差数列的前n项和学习目标1.掌握等差数列的前n项和公式，对于a1，d，n，an，Sn五个量中已知三个量，求另两个量.2．灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题．3．能构建等差数列模型解决实际问题．第一课时课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．等差数列的通项公式为：______________.2．等差数列的性质：当m＋n＝p＋q(m，n，p,q∈N＋)时，am＋an＝______，且a1＋an＝_________＝….an＝a1＋(n－1)dap＋aqa2＋an－1知新益能1．等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.思考感悟在公式Sn＝na1＋nn－12d中，Sn一定是关于n的二次函数吗？提示：当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数．2．等差数列求和公式的推导采用了倒序相加法，这是因为等差数列具有性质：a1＋an＝_________＝…＝am＋an－m＋1＝….3．等差数列常用解法公式中有a1，d，n，an，Sn五个量，已知三个求其余两个，利用方程思想，确定a1，d，进而确定an，Sn，这是等差数列有关问题的常用解法．a2＋an－1已知等差数列{an}中，(1)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d；(3)S5＝24，求a2＋a4.课堂互动讲练等差数列基本量的运算例例11【分析】合理使用前n项和公式，注意将其变形，应用方程的思想．【解】(1) Sn＝n·32＋nn－12(－12)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之，得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由Sn＝na1＋an2＝n－512＋12＝－1022，解之，得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之，得d＝－171.(3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S5＝5a1＋55－12d＝24，即得5a1＋10d＝24，∴a1＋2d＝245.a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×245＝485.法二：由S5＝5a1＋a52＝24，得a1＋a5＝485.∴a2＋a4＝a1＋a5＝485.【点评】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．自我挑战1(1)在等差数列{an}中，已知a6＝10,S5＝5，求a8和S8；(2)在等差数列{an}中，已知a16＝3，求S31.解：(1)因为a6＝10，S5＝5，所以a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5，解得a1＝－5，d＝3.所以a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.(2)S31＝a1＋a312×31＝a16×31＝3×31＝93.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6＝36，Sn＝324，若Sn－6＝144(n>6)，求项数n.【分析】利用等差数列的性质，建立n满足的关系式．例例22【解】依题意a1＋a2＋…＋a6＝36，且an＋an－1＋…＋an－5＝Sn－Sn－6＝180.两式相加，(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝216，则6(a1＋an)＝216，a1＋an＝36.∴na1＋an2＝18n，则18n＝324，∴n＝18.【点评】在求数列的基本量的运算中，如果直接列方程组不易求解，一般可考虑利用性质转换变量关系，再求基本量．自我挑战2在等差数列{an}中，d＝2，an＝11,Sn＝35，求a1和项数n.解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及Sn＝na1＋nn－12d得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－1＝35，解得n＝5，a1＝3，或n＝7，a1＝－1.一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？等差数列及前n项和应用实例例例33【分析】每隔相等的时间关闭一个水龙头，则每个水龙头放水的时间组成等差数列，用等差数列前n项和知识解决．【解】设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为x1，x2，…，xn，由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，∴数列{xn}成等差数列．每个水龙头1min放水124n(这里不妨设水池的容积为1)，∴124n·(x1...