高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示同步测控课件 新人教A版选修2-1 课件VIP免费

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标重点难点1.记住空间向量基本定理及其意义.2.学会空间向量的正交分解及其坐标表示.3.能够在简单问题中选用三个不共面的向量作为基底表示其他向量.重点:空间向量基本定理和空间向量的坐标表示.难点:用基底表示空间向量.1.空间向量基本定理定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对于空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.预习交流1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一个基底的是().A.ABuuur,ACuuur,ADuuurB.ABuuur,1BCuuur,1ACuuurC.1ABuuur,1AAuuuur,11ABuuuurD.ABuuur,ADuuur,1CCuuur提示:D2.空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.(2)空间直角坐标系以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OPuur=p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).(4)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB�=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).预习交流2已知正方体OABC-O'A'B'C'的棱长为1,若以OAuuur,OCuuur,OO'uuur为基底,则向量OB'uuur的坐标是().A.(1,1,1)B.(1,0,1)C.(-1,-1,-1)D.(-1,0,1)提示:由于OB'OAOCOO'uuuruuuruuuruuur,所以OB'uuur=(1,1,1).故选A.一、基底的判断设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有().A.1个B.2个C.3个D.4个思路分析:能否作为空间的一个基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于a,b,c是不共面向量,所以可以构造图形,利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断.答案:C解析:如图所示,令a=ABuuur,b=1AAuuuur,c=ADuuur,则x=1ABuuur,y=1ADuuuur,z=ACuuur,a+b+c=1ACuuur.由于A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成一个基底的一组向量是().A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c答案:C解析:四个选项中,只有C选项中的三个向量a,2b,b-c不共面,可以构成一个基底.1.判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.2.对于正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,可以选择从同一个顶点出发的三条棱对应的向量作为一个基底,并可以此为基础,构造其他向量,进行相关的判断.二、用基底表示空间向量如图所示,空间四边形OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设OAuuur=a,OBuuur=b,OCuuur=c,试用向量a,b,c表示向量GHuuur.思路分析:解答本题可利用三角形重心的性质,结合空间向量的运算法则进而求得结果.解:易知GHOHOGuuuruuuruuur. 221OHOD332uuuruuur(OBOCuuuruuur)=13(b+c),2OGOAAGOAAD3uuuruuuruuuruuuruuur=2OA3uuur(ODOAuuuruuur)=121OA332uuur(OBOCuuuruuur)=13a+13(b+c),∴1GH3uuur(b+c)-13a-13(b+c)=-13a,即GHuuur=-13a.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设ABuuur=a,ADuuur=b,1AAuuuur=c,用基底{a,b,c}表示如下向量:(1)ACuuur,1ABuuur,1ADuuuur,1DCuuur;(2)AGuuur(点G是侧面CC1D1D的中心).解:(1)ACABADuuuruuuruuur=a+b;11ABABAAuuuruuuruuuur=a+c;11ADAAADuuuuruuuuruuur=-1AAADuuuuruuur=b-c;111DCDCCCABAAuuuruuuruuuruuuruuuur=a+c.(2)1111111111AGABBCCGABBCCDABADDC22uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=a+c+b-12(a+c)=12a+b+12c.1.用基底表示空间向量时,关键是合理运用空间向量的加法、减法以及数乘向量运算.2.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为...