2.2对数函数2．2.1对数与对数运算第1课时对数概念、常用对数【课标要求】1．理解对数的概念．2．掌握对数的基本性质．3．掌握对数式与指数式的相互转化．【核心扫描】1．指数式与对数式的互化．(重点)2．对数性质及对数恒等式．(难点)3．对数的底数与真数的范围．(易混点)自学导引1．对数的定义及相关概念．(1)如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)两种特殊的对数．①通常将以10为底的对数叫，log10N简记为.②通常以e为底，(e为无理数，e≈)的对数叫，logeN简记为.xaN常用对数lgN2.71828…自然对数lnN2．对数与指数之间的关系当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.想一想：你知道式子alogaN＝N(a>0，a≠1，N>0)为什么成立吗？提示此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，∴ab＝＝N.N3．对数的基本性质性质1没有对数性质21的对数是，即loga1＝(a>0且a≠1)性质3底数的对数是，即logaa＝(a>0且a≠1)负数和00011试一试：若log3(x2＋2x＋1)＋log55＋＝2，则x取何值时，上式成立？提示∵log3(x2＋2x＋1)＋log55＋＝2，∴log3(x2＋2x＋1)＋1＋1＝2，即log3(x2＋2x＋1)＝0，∴x2＋2x＋1＝1.∴x＝0或x＝－2.故当x＝0或x＝－2时上式成立．名师点睛1．准确理解对数概念对数符号logaN只有在a>0，a≠1且N>0时才有意义，这是因为：(1)若a<0，则N取某些数值时，logaN不存在，如log(－2)8＝b中，b不存在，为此规定a不能小于0.(2)若a＝0，①则当N≠0时，logaN不存在②当N＝0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.(3)若a＝1，①当N≠1时，则logaN不存在，②当N＝1时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1.(4)正数的任何次幂都是正数，即ab>0(a>0)，故N＝ab>0，因此N总是正数．2．对数与指数的关系(1)指数式ab＝N与对数式logaN＝b中，a、b、N三者间的关系实质如下(a>0且a≠1)：项目式子abN意义指数式ab＝N底数指数幂a的b次幂等于N对数式logaN＝b底数对数真数以a为底N的对数等于b(2)利用对数式与指数式之间的关系，可以把指数与对数进行互化．题型一指数式与对数式的互化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)3－2＝19；(3)14－3＝64；(4)log216＝4；(5)27＝－3；(6)＝6.[思路探索]依据ax＝N⇔x＝logaN(a>0且a≠1)进行转化．解(1)log464＝3.(2)log319＝－2.(3)＝－3.(4)24＝16.(5)13－3＝27.(6)(3)6＝x.规律方法(1)logaN＝b与ab＝N(a>0且a≠1，N>0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．在进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．(2)对数式与指数式的关系如下图：【变式1】将下列指数式与对数式互化．(1)54＝625；(2)＝－3；(3)14－2＝16；(4)log101000＝3.解(1)∵54＝625，∴log5625＝4.(2)∵＝－3，∴12－3＝8.(3)∵14－2＝16，∴＝－2.(4)∵log101000＝3，∴103＝1000.题型二对数基本性质的应用【例2】求下列各式中x的值．(1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log(2－1)13＋22＝x.[思路探索]可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系求解．规律方法对于对数的基本性质，要把握好以下三点：①在指数式中N>0，故零和负数没有对数．②设a>0，a≠1，则有a0＝1，所以loga1＝0.即1的对数等于0.③设a>0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.题型三对数恒等式的应用审题指导利用指数幂的运算性质和对数恒等式化简求值．(4分)(8分)(12分)【题后反思】对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．【变式3】设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝()．A.1049B.710C.107D.4910答案C
