第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切学习目标1.会推导出两角和与差的正弦公式、正切公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明.3.会利用辅助角公式化asinα+bcosα为一个角的三角函数的形式.重点：两角和与差的正弦、正切公式的应用.难点：利用两角和的正弦公式变asinα+bcosα为一个角的三角函数的形式.Sα+β：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；Sα-β：sin（α-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ.两角和的正弦公式两角差的正弦公式你发现这两组公式有何结构特征？正余余正，符号相同.知识梳理一、两角和与差的正弦1.两角和与差的正弦公式及其推导根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的两角和与差的正弦公式.公式的证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知sin（α+β）＝()2cos＝2cos＝2coscosβ+2sinsinβ＝sinαcosβ+cosαsinβ，而且sin（α-β）＝sin［α+（-β）］＝sinαcos（-β）+cosαsin（-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ.对于两角和与差的正弦公式要注意以下几点（1）SS，与CC，一样，对任意角α，β均成立，是恒等式.（2）公式中的α，β既可以是一个角，也可以是几个角的组合.（3）公式的结构特征：两角和与差的正弦公式的左端为两角和或差的正弦，右端为α，β的异名的三角函数积的和或差.因此，可记忆为“正余余正，符号相同”.“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦，余弦乘正弦.“符号相同”是指展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同.（4）“和差”公式是诱导公式的推广，诱导公式是“和差”公式的特殊形式.当α，β中有2的整数倍角时，使用诱导公式更简单，如2sin＝cosα.（5）注意公式的正用、逆用、变形用.2.辅助角公式形如（且不同时为零）的式子，引入辅助角，可变形为sin（）或cos（）的形式，因此我们把sin（）（或））称为辅助角公式.其中满足：cos＝，sin＝.辅助角公式实质上就是两角和与差的余弦、正弦公式的逆用.辅助角公式的常见形式:（1）sinx±cosx＝sin4x；（2）cosx±sinx＝cos4x；（3）sinx±3cosx＝23sinx；（4）cosx±3sinx＝2cos3x；（5）3sinx±cosx＝2sin6x；（6）3cosx±sinx＝2cos6x.【名师点拨】通过辅助角公式，（且不同时为零）可转化为sin（）或cos（）的形式（具体变换成哪种形式依题而定）.（且不同时为零）可转化为sin（）或cos（）的形式.由此可以很容易地解决它们的周期性、最值、单调性等有关问题.二、两角和与差的正切公式思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tanα，tanβ表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？其中α，β应该满足什么条件？推导过程如下：（1）tan（α+β）＝sincos（）＝sincoscossincoscossinsin，分子、分母同除以cosαcosβ得tan（α+β）＝tantan1tantana.（2）在上面的公式中，β用-β代替，则有tan（α-β）＝tantan1tantan（）（）＝tantan1tantan.注意：从推导的过程可以知道，α，β有一定的取值范围，即α≠kπ+（k∈），β≠kπ+（k∈），α±β≠kπ+（k∈），这样，才能保证tanα，tanβ及tan（α±β）都有意义.Tα+β:tan（α+β）＝tantan1tantan；Tα-β:tan（α-β）＝tantan1tantan.归纳总结：两角和的正切公式两角差的正切公式公式的结构特征：（1）公式的右边为分式形式，其中分子为tanα，tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和.（2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题.想一想：对于两角和与差...
