江苏省高考数学二轮复习 专题24 直线与圆的最值问题精品课件VIP专享VIP免费

专题二十四直线与圆的最值问题专题二十四直线与圆的最值问题专题二十四直线与圆的最值问题主干知识整合专题二十四│主干知识整合直线与圆中的最值问题主要包含两个方面1．参量的取值范围由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k，b，r的值变化．此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数．2．长度和面积的最值由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化．此类问题主要是建立关于参数如k或b，r的函数，运用函数或基本不等式求最值．要点热点探究专题二十四│要点热点探究►探究点一有关长度的最小值直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦长、切线长等．其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解．例1(1)如图24－1，已知圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．(2)直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最大值为________．图24－1专题二十四│要点热点探究(1)2(2)2＋1【解析】(1)设切点为D，∠OAD＝α0<α<π2，则连结OD知OD⊥AB，从而得到AD＝1tanα＝cosαsinα，BD＝1tanπ2－α＝sinαcosα，所以线段AB＝cosαsinα＋sinαcosα，故线段AB长度的最小值为2.(2)由题意知，圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离为12a2＋b2＝12，解得2a2＋b2＝2，所以点P(a，b)与点(0,1)之间距离为a2＋b－12＝b22－2b＋2＝12b－22，因为－2≤b≤2，所以当b＝－2时，点P(a，b)与点(0,1)之间距离取得最大值为3＋22＝2＋1.专题二十四│要点热点探究【点评】(1)本题在建立函数时，没有选择用D点坐标建立函数，而是选择∠OAD为自变量来建立函数，这样比起二元函数来说，有利于求解．(2)本题中的距离是一个二元函数，这样一来几何条件“△AOB是直角三角形”就必须转化为a，b之间的等式，然后代入消元求出最大值．专题二十四│要点热点探究►探究点二有关面积的最值问题直线与圆中的面积问题主要指的是由直线与坐标轴形成的三角形、直线与圆形成的多边形及动圆的面积．例2已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1)，且CP的斜率为－1.(1)试求⊙C的方程；(2)过原点O作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交⊙C于E，F两点，l2交⊙C于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值．专题二十四│要点热点探究【解答】(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则C点的坐标为－D2，－E2，且PC的斜率为－1，因为圆C通过不同的三点P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以有1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，－D2＝2＋m2，－E2－0－D2－m＝－1，解得D＝1，E＝5，F＝－6，m＝－3.所以圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.或写成x＋122＋y＋522＝252.专题二十四│要点热点探究(2)圆心C－12，－52，设圆心C到l1，l2的距离分别为d1，d2，则d21＋d22＝OC2＝132，又EF22＋d21＝R2，GH22＋d22＝R2，两式相加，得EF2＋GH2＝74≥2EF·GH，∴S＝12EF·GH≤372，即(S四边形EFGH)max＝372.专题二十四│要点热点探究►探究点三某些参量的取值范围问题动直线和动圆中都会带有参量，此时由于直线和圆的运用，会带来参量取值变化，利用几何特征建立关于参量的不等式或函数来求解．例3已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0