专题二十一立体几何的综合问题专题二十一立体几何综合问题专题二十一立体几何综合问题主干知识整合专题二十一│主干知识整合立体几何的综合问题主要包含以下几个方面：1．空间几何体的体积和点到平面的距离空间几何体的体积和点到平面的距离是密不可分的，柱体和锥体的高等同于点到平面的距离，在传统证明位置关系的立体几何问题中增加了对线段长度和多边形面积的计算要求．2．图形翻折问题将平面图形翻折成空间几何体，提高了对空间想象能力的要求，以及对线段和角度的计算能力的要求．3．存在性问题存在性问题将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题，需要先找到相应的点、线、面再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面．要点热点探究专题二十一│要点热点探究►探究点一空间几何体中点到平面距离的问题空间几何体中点到平面的距离问题，首先考虑直接法即直接找出点在平面上的射影，如果找不到再考虑转化．例1如图21－1，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，点O1、O分别是上、下底面菱形的对角线的交点．(1)求证：A1O∥平面CB1D1；(2)求点O到平面CB1D1的距离．图21－1专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明：连结O1C. AA1∥CC1且AA1＝CC1.∴AC∥A1C1且AC＝A1C1. O1、O分别是A1C1、AC的中点，∴OC∥A1O1且OC＝A1O1，∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴A1O∥O1C.又 A1O⊄平面CB1D1，O1C⊂平面CB1D1，∴A1O∥平面CB1D1.(2) AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1. A1C1、B1D1为菱形A1B1C1D1的对角线，∴B1D1⊥A1C1. AA1∩A1C1＝A1.∴B1D1⊥平面AA1C1C.又 B1D1⊂平面CB1D1，∴平面CB1D1⊥平面AA1C1C.在平面AA1C1C内作OH⊥CO1，H为垂足，则OH⊥平面CB1D1，线段OH的长为点O到平面CB1D1的距离．在矩形AA1C1C中，∠OCH＝∠CO1C1，∴sin∠CO1C1＝CC1CO1＝172＝27，sin∠OCH＝OHOC＝OH32＝2OH3.∴27＝2OH3，OH＝217.因此，点O到平面CB1D1的距离为217.专题二十一│要点热点探究【点评】本题中点到平面的距离并没有用转化的方法，而是直接找出距离对应的线段，通过计算三角形得来．这里找点到平面的距离，利用了面面垂直的性质定理，即先有垂面，再作交线的垂线即可求出．本题也可求三棱锥的体积．专题二十一│要点热点探究►探究点二图形翻折问题将平面几何图形翻折成空间几何体，会带来线段的长度和角度的变化，从而影响线面位置关系，解这类问题关键是需要分清楚翻折前后的变化，需要一定的空间想象能力．例2在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F(如图21－2(1))，将此梯形沿EF折成一个直二面角A－EF－C(如图21－2(2))．(1)求证：BF∥平面ACD；(2)求多面体ADFCBE的体积．图21－2专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明：连结EC交BF于点O，取AC中点P，连结PO，PD，可得PO∥AE，且PO＝12AE，而DF∥AE，且DF＝12AE，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四边形DPOF为平行四边形，所以FO∥PD，即BF∥PD，又PD⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，所以BF∥平面ACD.专题二十一│要点热点探究(2)因为二面角A－EF－C为直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE，又BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE＝E，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱锥C－ABE的高，同理可证CF是四棱锥C－AEFD的高，所以多面体ADFCBE的体积V＝VC－ABE＋VC－AEFD＝13×12×2×2×2＋13×12(1＋2)×2×2＝103.专题二十一│要点热点探究【点评】对于翻折问题，通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变．异侧就会发生变化，如本题中折痕所在直线为EF，故线段AB，DC的长度有明显变化，∠DFC，∠AEB也从平角变成直角．专题二十一│要点热点探究►探究点三存在性问题空间几何体常研究的存在性问题包括，是否存在线面平行；是否存在线面垂直．例3如图21－3所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB＝2BC，AC＝AA1＝3BC.(1)证明：A1C⊥平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．图21－3专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明...
