9.1.1正弦定理第九章解三角形重点：正弦定理及其应用.难点：正弦定理的应用.1.探索三角形的边长与角度的关系.2.掌握正弦定理及其推导过程.3.理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决简单的三角形度量和边角转化问题.学习目标知识梳理一、正弦定理1.正弦定理的内容在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R（该比值为三角形外接圆的直径）.即各边的长和它所对角的正弦的比相等，注：正弦定理对任意三角形都成立.2.正弦定理的常见变形（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R为△ABC外接圆的半径）.（2）sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR（R为△ABC外接圆的半径）.（3）三角形的边长之比等于对应角的正弦之比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.（4）abcsinAsinBsinC＝asinA＝bsinB＝csinC.（5）asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.一、正弦定理一、正弦定理2.正弦定理的常见变形（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R为△ABC外接圆的半径）.（2）sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR（R为△ABC外接圆的半径）.（3）三角形的边长之比等于对应角的正弦之比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.（4）abcsinAsinBsinC＝asinA＝bsinB＝csinC.（5）asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.一、正弦定理3.正弦定理在解三角形中的应用（1）已知三角形的两角及一边求三角形（ASA或AAS）注：此时有唯一解，三角形被唯一确定.（2）已知三角形两边和其中一边的对角求三角形（SSA）注：此时解的情况不唯一，要分类讨论.1.S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.2.S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高.3.S△ABC＝12r（a+b+c）＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.二、常用的三角形的面积公式常考题型【解题提示】先由A+B+C＝180°求出C，再由asinA＝csinC求出a.一、利用正弦定理解三角形1.已知两角及任意一边解三角形例1［2019·山东潍坊高二期中］在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝75°，B＝45°，c＝32，则a＝解析：由题意，可采用逆向思维，首先将函数y＝3sinx的图象向左平移4个单位长度，得到y＝43sinx＝712sinx的图象，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y＝7212sinx的图象，故选A.解析： A＝75°，B＝45°，∴C＝180°-（A+B）＝60°. asinA＝csinC，∴a＝csinAsinC＝327560sinsin＝26sin75°. sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝624，∴a＝3+3.答案：3+3［2019·浙江杭州二中高一检测］在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝5，B＝4，sinA＝13，则a＝.变式训练1-1解析：由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴13a＝5sin4，解得a＝523.答案：523已知三角形的两角及一边求三角形（ASA或AAS）①ASA型：先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.②AAS型：可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.注：此时有唯一解，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了.解题归纳【解题提示】“已知三角形的两边及其中一边的对角，求另一边的对角”多用正弦定理求解，解题时，要特别注意解的个数，可能出现一解、两解，三角形中的“大边对大角”是判断解的个数的重要依据.2.已知两边和其中一边的对角解三角形例2已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于（）A.60°或120°B.60°C.30°或150°D.30°解析：在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝14324＝32. b>a，∴B>A＝30°，∴B＝60°或B＝120°.故选A.答案：A下列关于△ABC的说法正确的是（）A.若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解B.若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解C.若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解D.若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解变式训练1-2解析：A项中， sinaA＝sinbB...
