2．6曲线与方程2．6.1曲线与方程学习目标1.了解曲线与方程的定义．2．会处理一些简单的曲线与方程问题．课堂互动讲练知能优化训练2．6.1课前自主学案课前自主学案温故夯基1．椭圆的标准方程有________________或_________________；2．双曲线的标准方程有_______________或_______________；x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2a2－y2b2＝1(a>b>0)x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)y2a2－x2b2＝1(a>b>0)3．抛物线的标准方程有___________、______________、___________、______________．y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)1．在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：知新益能如果______上点的坐标(x，y)都是______________的解，且以方程____________的解(x，y)为坐标的点都在______上，那么，方程f(x，y)＝0叫做____________，曲线C叫做____________________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是____________.曲线C方程f(x，y)＝0f(x，y)＝0曲线C曲线C的方程方程f(x，y)＝0的曲线f(x0，y0)＝0曲线C上的点集{M|P(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间有怎样的关系？提示：元素一一对应．问题探究课堂互动讲练考点突破曲线与方程的定义应用曲线与方程的定义证明方程的曲线或曲线的方程．如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么以下说法中正确的是________(填序号)．例1①以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上③不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上【思路点拨】利用曲线与方程的定义以及它们之间的关系求解．【解析】由曲线与方程的定义可知，已知条件中的曲线C和方程并不一定是相互对应的，因此①、②、③都无正确的依据，另外，已知条件的逆否命题恰好是④，故④是正确的．【答案】④【名师点评】本题主要考查对曲线与方程等基本概念的理解以及命题形式的等价转换．曲线与方程的定义表明：曲线C的方程是F(x，y)＝0的充分必要条件是曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，并且以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点都在曲线C上，这是识别曲线和方程关系的基本依据．自我挑战1(1)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程x2－y＝0的关系；(2)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系．解：(1)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标满足方程x2－y＝0.以方程x2－y＝0的解为坐标的点都在曲线y＝x2上，故此曲线是方程x2－y＝0的曲线，方程x2－y＝0是此曲线的方程．(2)如图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，例如点(－2,0)，因此|x|＝2不是l的方程，l也不是方程|x|＝2的曲线．曲线C的方程为f(x，y)＝0，点A(x0，y0)，若A∈C，则f(x0，y0)＝0，反之也成立．判断点与曲线的关系，主要是通过点的坐标是否是方程f(x，y)＝0的解进行验证，即A∈C⇔f(x0，y0)＝0，也就是说A∉C⇔f(x0，y0)≠0.点与曲线的关系(本题满分14分)判断点A(1，－2)，B(2，－3)是否在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上．【思路点拨】判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线的方程的解．例2【规范解答】因为12＋2－4＋1＝0，即点A的坐标是曲线方程x2－xy＋2y＋1＝0的解，所以点A在这个曲线上.7分因为22－2×(－3)＋2×(－3)＋1＝5≠0，即点B的坐标不是曲线方程x2－xy＋2y＋1＝0的解，所以点B不在这个曲线上.14分【名师点评】判断点是否在曲线上，主要是验证该点的坐标是否是这个曲线的方程的解．互动探究2将本例改为，若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．解： 曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)．∴a2＋a2＋2a＋k＝0.整理，得k＝－2a2－2a，∴k＝－2(a＋12)2＋12. a∈R，∴－2(a＋12)2≤0.从而k≤12，当且仅当a＝－12时，k＝12.∴k的取值范围是(－∞，12]．1．称曲线C的方程是f(x，y)＝0，必须满足两点要求，缺一不可，即指曲线C上的点的坐...
