高中数学 第2章24向量的数量积二精品课件 苏教版必修4 课件VIP专享VIP免费

2．4向量的数量积(二)学习目标理解并掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能利用向量的数量积解决向量夹角、平行、垂直等问题.课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练2.4向量的数量积(二)课前自主学案温故夯基1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.2．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，若λb－a与a垂直，则λ＝_____.－1222知新益能1．向量数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，i与j分别为与x轴、y轴同向的单位向量，则①i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0；②a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j.a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝___________.2．求向量模的公式设a＝(x，y)，则x1x2＋y1y2|a|2＝a2＝a·a＝x2＋y2或|a|＝___________.3．两点间距离公式设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝_______________________.4．向量的夹角公式x2＋y2x2－x12＋y2－y12设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，b≠0，a与b夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.5．向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_________________.x1x2＋y1y2＝0问题探究与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标如何表示？提示：由于单位向量a0＝a|a|，且|a|＝x2＋y2，所以a0＝a|a|＝1x2＋y2(x，y)＝(xx2＋y2，yx2＋y2)．课堂互动讲练考点突破平面向量数量积的坐标运算引入坐标运算后，向量的数量积的运算与两个向量的坐标运算联系起来，因而数量积的有关运算成了一种代数运算．例例11已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．【思路点拨】利用数量积的坐标公式，将相应向量的坐标代入计算即可．【解】(1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2) a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17)，a·(b·c)＝a((2,5)·(2,1))＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．【名师点评】以坐标形式计算数量积，要找准数量积中各向量的坐标，可一步一步计算每个过程以保证结果正确．互动探究1例1的条件不变，求(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.解：(1)2a＝2(1,3)＝(2,6)，b－a＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a·(b－a)＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.(2)a＋2b＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a＋2b)·c＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.向量的模与夹角问题由于a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，即数量积有两种表现形式，这就为求向量的夹角，提供了另外一种途径，即运用坐标形式求数量积，再求夹角．已知向量4a－2b＝(－2,23)，c＝(1，3)，a·c＝3，|b|＝4，求向量b与c的夹角α.例例22【思路点拨】利用向量的数量积的坐标运算及向量的夹角公式求解．【解】 4a－2b＝(－2,23)，c＝(1，3)，∴(4a－2b)·c＝－2＋6＝4，即4a·c－2b·c＝4.又a·c＝3，∴2b·c＝4a·c－4＝4×3－4＝8，∴b·c＝4.又|c|＝12＋32＝2，∴cosα＝b·c|b||c|＝44×2＝12.又 α∈[0，π]，∴α＝π3.【名师点评】熟练掌握平面向量的夹角公式，两向量的数量积定义及其运算性质是解此类题目的关键，在求解过程中只要明确所求解的量，并逐步求解所求的量即可顺利解题．解：由a＝(2,1)，b＝(m,2)得|a|＝5，|b|＝m2＋4，a·b＝x1x2＋y1y2＝2m＋2.(1)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0⇔2m＋2＝0⇔m＝－1.自我挑战2已知向量a＝(2,1)，b＝(m,2)，它们的夹角为θ，当m取什么实数时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？(2)θ为锐角⇔x1x2＋y1y2＞0，x1x2＋y1y2≠x21＋y21·x22＋y22⇔2m＋2＞0，2m＋2≠5·m2＋4⇔m＞－1，m－42≠0⇔m＞－1且m≠4.(3)θ为钝角⇔x1x2＋y1y2＜0，x1x2＋y1y2≠－x21＋y21·x22＋y22⇔2m＋2＜0，2m＋2≠－5·m2＋4⇔m＜－1，m－42≠0⇔m＜－1.故当m＝－1时，θ为直角．当m＞－1且m≠4时，θ为锐角．当m＜－1时，θ为钝角．与向量垂直有关的问题两个非零向量垂直主要有两种形式：(1)若a与b为非零向...