第十一节导数在研究函数中的应用22．．函数的极值与导数函数的极值与导数(1)(1)若函数若函数ff((xx))在点在点xx＝＝aa处的函数值处的函数值ff((aa))比它在点比它在点xx＝＝aa附附近其他点的函数值近其他点的函数值__________________，且，且ff′(′(aa))＝＝00，而且在，而且在xx＝＝aa附近的左侧附近的左侧______________________________，右侧，右侧______________________，则，则aa点叫点叫函数的极小值点，函数的极小值点，ff((aa))叫函数的极小值．叫函数的极小值．1．函数的单调性与导数都小f′(x)<0f′(x)>0(2)(2)若函数若函数ff((xx))在点在点xx＝＝bb处的函数值处的函数值ff((bb))比它在点比它在点xx＝＝bb附附近其他点的函数值近其他点的函数值______________，且，且ff′′((bb))＝＝00，而且在，而且在xx＝＝bb附附近的左侧近的左侧________________________，右侧，右侧____________________，则，则bb点叫函数的点叫函数的极大值点，极大值点，ff((bb))叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．33．．函数的最值与导数函数的最值与导数(1)(1)函数函数ff((xx))在在[[aa，，bb]]上有最值的条件上有最值的条件如果在区间如果在区间[[aa，，bb]]上函数上函数yy＝＝ff((xx))的图象是一条的图象是一条________________________的曲线，那么它必有最大值和最小值．的曲线，那么它必有最大值和最小值．都大f′(x)>0f′(x)<0连续不断(2)(2)求求yy＝＝ff((xx))在在[[aa，，bb]]上的最大上的最大((小小))值的步骤值的步骤①①求函数求函数yy＝＝ff((xx))在在((aa，，bb))内的内的________.________.②②将函数将函数yy＝＝ff((xx))的各极值与的各极值与________________________________________________比比较，其中较，其中______________的一个是最大值，的一个是最大值，__________________的一个是最小的一个是最小值．值．极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小11．．ff′′((xx))＞＞00是是ff((xx))在在((aa，，bb))内单调递增的充要条件吗？内单调递增的充要条件吗？【提示】【提示】函数函数ff((xx))在在((aa，，bb))内单调递增，则内单调递增，则ff′′((xx))≥≥00，，ff′′((xx))＞＞00是是ff((xx))在在((aa，，bb))内单调递增的充分不必要条件．内单调递增的充分不必要条件．22．导数值为．导数值为00的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？点取得极值的什么条件？【提示】【提示】不一定．如函数不一定．如函数ff((xx))＝＝xx33，在，在xx＝＝00处，有处，有ff′′(0)(0)＝＝00，但，但xx＝＝00不是函数不是函数ff((xx))＝＝xx33的极值点，对于可导函数，的极值点，对于可导函数，若若xx＝＝xx00为其极值点，则需满足以下两个条件：为其极值点，则需满足以下两个条件：①①ff′′((xx00))＝＝00，，②②xx＝＝xx00两侧的导数两侧的导数ff′′((xx))的符号异号．因此的符号异号．因此ff′′((xx00))＝＝00是函数是函数yy＝＝ff((xx))在点在点xx＝＝xx00取得极值的必要不充分条件．取得极值的必要不充分条件．1．(教材改编题)函数y＝2x＋sinx的单调递增区间是()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(2kπ－π2，2kπ＋π2)，k∈ZD．以上答案均不正确【解析】f(x)＝2x＋sinx的定义域为R，f′(x)＝2＋cosx＞0恒成立．故f(x)在其定义域内是增函数．【答案】A2．函数y＝x3＋ax＋b在区间[－1,1]上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则a等于()A．3B．－3C.33D．－33【解析】y′＝3x2＋a，由题意知，当x＝1时，y′＝0，∴a＝－3.【答案】B3．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为()A.12B．1C．不存在D．0【解析】f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x＞0，令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝12－ln1＝12.【答案】A44．．(2011·(2011·福建高考福建高考))若若aa＞＞00，，bb＞＞00，且函数，且函数ff((xx))＝＝44xx33－－aaxx22－－22bxbx＋＋22在在xx＝＝11处有极值，则处有极值，则abab的最大值等于的最大值等于(())AA．．2...
