了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质/会画直棱柱的直观图第50课时棱柱1．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形且每相邻两个面的互相平行，这样的多面体叫棱柱．两个互相平行的面叫棱柱的；其余各面叫棱柱的；两侧面的公共边叫棱柱的；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的(公垂线段长也简称高)．交线底面(简称底)侧棱侧面高2．棱柱的分类侧棱不垂直于底面的棱柱叫．侧棱垂直于底面的棱柱叫．底面的是正多边形的直棱柱叫．斜棱柱直棱柱正棱柱棱柱的性质(1)棱柱的侧棱相等，侧面都是；直棱柱侧面都是；正棱柱侧面都是全等的矩形．(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的．(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是．(如图)平行四边形矩形全等的多边形平行四边形3．1．如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝1，点D在BB1上，且BD＝1，则AD与侧面AA1C1C所成角为()A.B.C．arctanD．arcsin解析：如右图，取A1C1，AC的中点O1、O，过D作DE⊥OO1于E，连结AE.由正三棱柱的性质知∠EAD即为所求，由，用余弦定理求得cos∠DAE＝，∴sin∠DAE＝.答案：D2．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B－APQC的体积为()答案：C3．已知高为3的直棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B′－ABC的体积为()答案：D4．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(如图2)．有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：____________.(写出所有真命题的代号)解析：易知所盛水的容积为容器容量的一半，故④正确，于是①错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故②正确；③的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面．答案：②④1.直棱柱(或正棱柱)由底面和高确定，在解决与直棱柱(或正棱柱)相关问题时，要充分利用直棱柱(或正棱柱)的性质．2.由于直棱柱(或正棱柱)的侧棱与其底面垂直，因此解决直棱柱(或正棱柱)的相关问题时，便于建立空间坐标系利用空间向量进行求解．【例1】如右图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N.(1)求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；(2)求点B1到平面AMN的距离．解答：如图，(1)解法一：因为M是底面BC边上的中点，所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，所以AM⊥面BCC1B1，从而AM⊥B1M，AM⊥NM.所以∠B1MN为二面角B1－AM－N的平面角，又B1M＝，MN＝，连结B1N，得B1N＝在△B1MN中，由余弦定理得cos∠B1MN＝故所求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值为.(2)在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN.H为垂足，又AM⊥平面BCC1B1，所以AM⊥B1H.于是B1H⊥平面AMN.故B1H为B1到平面AMN的距离．在Rt△B1HM中，B1H＝B1M·sin∠B1MH＝＝1.故点B1到平面AMN的距离为1.解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,1)，M(0，，0)，C(0,1,0)，N(0,1，)，A(－，，0)，所以，因为所以⊥，同法可得⊥.故〈，〉为二面角B1－AM－N的平面角．∴cos〈，〉＝.故所求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值为.(2)设n＝(x，y，z)为平面AMN的一个法向量，则由n⊥，n⊥得⇔故可取n＝(0，－，1)．设与n的夹角为α，则cosα＝，所以B1到平面AMN的距离为.变式1.如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)求点A1到平面AED的距离．解答：解法一：(1)如右图，连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB的中点，连结EF、FC， D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，∴四边形CDEF为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF2＝FG·...
