•重点难点•重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离•难点：将立体几何问题转化为向量问题．•知识归纳•一、空间的角•空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．1．异面直线所成的角：在空间取一点O，过O分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角．其取值范围为(0，π2]．2．直线和平面所成的角：如果直线平行于平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为0；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为π2；如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的射影所成的锐角为直线和平面所成的角．因此直线和平面所成角的范围是[0，π2]．平面的斜线AB在平面α内的射影为BC，平面内的直线l，l与AB所成的角为θ，l与BC所成角为θ1，AB与平面α所成角为θ2，则cosθ＝cosθ1·cosθ2，θ1、θ2、θ均在0，π2内，并由此得，cosθ≤cosθ2，∴θ≥θ2，这表明平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的，通常称作最小角定理．•3．二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．•作二面角的平面角的常用方法有：•(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．•(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．•(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别与两个面的交线，构成二面角的平面角．•※二、空间的距离•1．(1)——两点间的距离连结两点的线段的长度．•(2)——点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．•(3)——点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．•连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．•(4)——平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．•(5)——异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．•(6)——直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．•(7)——两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度．•2．求距离的一般方法和步骤•求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：•①找出或作出有关距离的图形；•②证明它符合定义；•③在平面图形内计算．•空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．三、直线的方向向量与直线的向量方程1．对于定点A和向量a(a≠0)，经过点A与向量a平行的直线l的向量方程AP→＝ta(t∈R)，称作以t为参数的参数方程，向量a称为该直线的方向向量．2．对空间任一确定的点O，点P在经过点A与a平行的直线l上的充要条件是：存在唯一的实数t，使OP→＝OA→＋ta，在l上取AB→＝a，则OP→＝(1－t)OA→＋tOB→，叫做空间直线的向量参数方程．•四、平面的法向量与平面的向量表示•1．如果向量a的基线与平面α垂直，则a称作平面α的法向量．2．设A是空间任一确定的点，n为空间中任一非零向量．如果空间点M满足AM→·n＝0(1)，则点M在过点A与向量n垂直的平面α内．(1)式称为平面α的向量表示式，其中n为平面α的法向量．•五、其它有关问题•1．在求立体几何中线段的长度时，利用a·a＝|a|2.•2．求平面的法向量的方法设n是平面M的一个法向量，AB、CD是M内的两条相交直线，则n·AB→＝0，n·CD→＝0.由此可求出一个法向量n(向量AB→及CD→已知)．3．直线的方向向量的求法在直线l上取两个已知点...
